Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados dos planos $\{\begin{array}{l}\pi :x+y-2z=3\\ {\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-z=5\end{array}$. Sea $P$ un punto de $\pi$ cuya proyección ortogonal sobre ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ es el punto $A(5,1,0)$.

a) Calcule las ecuaciones implícitas de la recta $r$ que une $P$ y $A$. [1,5 puntos]

b) Calcule el punto $P$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{citas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La clave está en el significado de proyección ortogonal: si $A$ es la proyección de $P$ sobre ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$, entonces el segmento que los une es perpendicular a ese plano y, por tanto, la recta $r$ tiene como director el normal de ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$.



${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=(1,0,-1)$

Con ese director y el punto $A(5,1,0)$ escribimos las paramétricas:

$r:\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=1\\ z=-t\end{array},t\in \mathbb{R}$

Para pasar a implícitas eliminamos el parámetro. La segunda coordenada ya da una ecuación, y sumando la primera y la tercera desaparece $t$:

$y=1$

$x+z=(5+t)+(-t)=5$

$r:\{\begin{array}{l}y=1\\ x+z=5\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El punto $P$ es el de la recta $r$ que pertenece al plano $\pi$, así que sustituimos las paramétricas en su ecuación.

$(5+t)+1-2(-t)=3$

$5+t+1+2t=3\Rightarrow 3t+6=3\Rightarrow t=-1$

$P(5-1,1,-(-1))=P(4,1,1)$

Comprobamos que pertenece a $\pi$ y que su proyección sobre ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ es efectivamente $A$:

$4+1-2\cdot 1=3$

$d(P,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }4-1-5\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}=\mid \overrightarrow{PA}\mid$

El punto pedido es $P(4,1,1)$.