Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Encuentre la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas

$r\equiv {\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y+3}{1}}={\displaystyle \frac{z-2}{-2}}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x=-4+3\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=-1+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$.

De las ecuaciones de las dos rectas leemos un punto y un vector director de cada una:

$r:\{P_0(0,-3,2),{\vec{v}}_r=(1,1,-2)\}s:\{Q_0(-4,1,-1),{\vec{v}}_s=(3,1,2)\}$



i) La recta $t$ ha de ser perpendicular a las dos, luego su vector director es perpendicular a ${\vec{v}}_r$ y a ${\vec{v}}_s$; basta tomar su producto vectorial.

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -2\\ 3& 1& 2\end{array}\mid =(4,-8,-2)\parallel (2,-4,-1)$

ii) Buscamos los puntos de corte. Un punto genérico de cada recta es

$P(\lambda ,-3+\lambda ,2-2\lambda )\in rQ(-4+3\mu ,1+\mu ,-1+2\mu )\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(-4+3\mu -\lambda ,4+\mu -\lambda ,-3+2\mu +2\lambda )$

Como $\overrightarrow{PQ}$ ha de tener la dirección de ${\vec{v}}_t$, es perpendicular a los dos directores. Imponemos que los dos productos escalares se anulen:

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=6-6\lambda =0\Rightarrow \lambda =1$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=-14+14\mu =0\Rightarrow \mu =1$

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda =1\Rightarrow P(1,-2,0)\mu =1\Rightarrow Q(-1,2,1)$

$\overrightarrow{PQ}=(-2,4,1)$, que efectivamente es proporcional a $(2,-4,-1)$.

Escribimos la ecuación continua de la recta que pasa por $P$ con ese director:

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{-2}}={\displaystyle \frac{y+2}{4}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$

La recta pedida es $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{-2}}={\displaystyle \frac{y+2}{4}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$, que corta perpendicularmente a $r$ en $P(1,-2,0)$ y a $s$ en $Q(-1,2,1)$.