Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $P(2,0,-1)$ y corta a las siguientes rectas: [2,5 puntos]

$s\equiv \{\begin{array}{l}2x+y-3z-6=0\\ 2x-3z-8=0\end{array}$ ; $r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z+2}{1}}$

Empezamos por escribir la recta $s$ en paramétricas. Restando las dos ecuaciones se obtiene $y+2=0$, y de la segunda $x={\displaystyle \frac{8+3z}{2}}$; tomando $z=2\lambda$,

$s\equiv \{\begin{array}{l}x=4+3\lambda \\ y=-2\\ z=2\lambda \end{array}\Rightarrow S(4,-2,0),{\vec{v}}_s=(3,0,2)$

De la recta $r$ leemos directamente $R(-1,0,-2)$ y ${\vec{v}}_r=(2,1,1)$.



La recta $t$ pasa por $P$ y corta a $s$, luego está en el plano que determinan $P$ y $s$; y como corta también a $r$, está en el plano que determinan $P$ y $r$. Es la intersección de esos dos planos.

i) Plano ${\pi }_1$ que contiene a $P$ y a $s$. Con $\overrightarrow{PS}=(2,-2,1)$,

${\vec{n}}_1={\vec{v}}_s\times \overrightarrow{PS}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 0& 2\\ 2& -2& 1\end{array}\mid =(4,1,-6)$

${\pi }_1:4(x-2)+1\cdot y-6(z+1)=0\Rightarrow {\pi }_1:4x+y-6z-14=0$

ii) Plano ${\pi }_2$ que contiene a $P$ y a $r$. Con $\overrightarrow{PR}=(-3,0,-1)$,

${\vec{n}}_2={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& 1\\ -3& 0& -1\end{array}\mid =(-1,-1,3)\parallel (1,1,-3)$

${\pi }_2:(x-2)+y-3(z+1)=0\Rightarrow {\pi }_2:x+y-3z-5=0$

iii) El director de $t$ es perpendicular a las dos normales:

${\vec{v}}_t={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& 1& -6\\ 1& 1& -3\end{array}\mid =(3,6,3)\parallel (1,2,1)$

Como $t$ pasa por $P(2,0,-1)$, su ecuación continua es

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z+1}{1}}$

Comprobamos los cortes: el punto de $t$ de parámetro $-1$ es $M(1,-2,-2)$, que pertenece a $s$, y el de parámetro $1$ es $N(3,2,0)$, que pertenece a $r$.

La recta pedida es $t\equiv {\displaystyle \frac{x-2}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z+1}{1}}$, que corta a $s$ en $M(1,-2,-2)$ y a $r$ en $N(3,2,0)$.