Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema $\{\begin{array}{l}x+y=a\\ (2-a)x+2y=1\\ ax=a\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo cuando sea posible. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es un sistema de tres ecuaciones con solo dos incógnitas, de modo que la matriz de coeficientes es $3\times 2$ y su rango no puede pasar de 2. La ampliada sí es cuadrada, así que empezamos por su determinante, desarrollándolo por la tercera fila.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2-a& 2\\ a& 0\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 2-a& 2& 1\\ a& 0& a\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }{A}^{\ast }\mathrm{\mid }=a\mid \begin{array}{cc}1& a\\ 2& 1\end{array}\mid +a\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2-a& 2\end{array}\mid$

$=a(1-2a)+a(2-(2-a))=a-2a^2+a^2=a-a^2=a(1-a)$

$\mathrm{\mid }{A}^{\ast }\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, el determinante de la ampliada no se anula:

$\mathrm{rg}(A^{\ast })=3>2\ge \mathrm{rg}(A)\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $a=0$, el sistema queda:

$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+2y=1\\ 0=0\end{array}$

Las dos primeras ecuaciones se contradicen: la primera dice $x+y=0$ y la segunda, dividida entre 2, dice $x+y=\frac{1}{2}$. En la matriz de coeficientes las filas son proporcionales, luego $\mathrm{rg}(A)=1$, mientras que en la ampliada el menor $\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$.

$\mathrm{rg}(A)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{rg}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $a=1$, el sistema queda:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+2y=1\\ x=1\end{array}$

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

$\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

El sistema solo tiene solución para $a=1$, y en ese caso es única; para cualquier otro valor de $a$ es incompatible.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El único caso con solución es $a=1$. La tercera ecuación da directamente una de las incógnitas.

$x=1$

Sustituyendo en la primera:

$1+y=1\Rightarrow y=0$

Comprobamos la solución en la segunda ecuación, que es la que no se ha usado:

$x+2y=1+0=1$

La solución, para $a=1$, es $(x,y)=(1,0)$.