Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\ 2x+(2a-1)y+(\sqrt{2}-2)z=2\\ -ax+ay+2a^{2}z=\sqrt{2}\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& 2a-1& \sqrt{2}-2\\ -a& a& 2a^2\end{array}\right)$

Sumamos a la segunda columna la primera, operación que no altera el determinante y deja dos ceros:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 2a+1& \sqrt{2}-2\\ -a& 0& 2a^2\end{array}\mid =(2a+1)\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -a& 2a^2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(2a+1)(2a^2-a)=a(2a-1)(2a+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,\pm \frac{1}{2}$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x={\displaystyle \frac{2a-2+\sqrt{2}}{a(2a-1)}},y={\displaystyle \frac{2(a-1)}{a(2a-1)}},z={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a(2a-1)}}$

Si $a=0$, la tercera ecuación queda

$0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=\sqrt{2}$

que es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, la tercera ecuación es

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y+{\displaystyle \frac{1}{2}}z=\sqrt{2}\Rightarrow x-y-z=-2\sqrt{2}$

y la primera dice $x-y-z=0$. Los dos primeros miembros coinciden y los términos independientes no, luego el sistema es incompatible.

Si $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, la segunda columna de $M$ es la opuesta de la primera, así que $\mathrm{ran}(M)=2$, y se comprueba que también $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2$: el sistema es compatible indeterminado. Las ecuaciones primera y tercera son

$\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\ x-y+z=2\sqrt{2}\end{array}$

Restándolas, $2z=2\sqrt{2}\Rightarrow z=\sqrt{2}$, y de la primera $x-y=\sqrt{2}$. La segunda ecuación del sistema se cumple entonces automáticamente, porque

$2(x-y)+(\sqrt{2}-2)z=2\sqrt{2}+(\sqrt{2}-2)\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2-2\sqrt{2}=2$

La solución es

$\{\begin{array}{l}x=\lambda +\sqrt{2}\\ y=\lambda \\ z=\sqrt{2}\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,\pm \frac{1}{2}$, incompatible para $a=0$ y para $a=\frac{1}{2}$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=-\frac{1}{2}$.