Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}x+(a^2-2a)y-z=-a^2\\ x+(a^2-4)y+(2a-3)z=-a^2-2a\\ x+(a^2-4a+4)y+(a^2-2a)z=-a^2+a-1\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

Como las tres ecuaciones tienen el mismo coeficiente en $x$, restamos la primera a las otras dos, operación que no altera ni el sistema ni el determinante:

$\{\begin{array}{l}x+(a^2-2a)y-z=-a^2\\ 2(a-2)y+2(a-1)z=-2a\\ -2(a-2)y+(a-1{)}^{2}z=a-1\end{array}$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a^2-2a& -1\\ 0& 2(a-2)& 2(a-1)\\ 0& -2(a-2)& (a-1{)}^2\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}2(a-2)& 2(a-1)\\ -2(a-2)& (a-1{)}^2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2(a-2)(a-1{)}^2+4(a-2)(a-1)=2(a-2)(a-1)[(a-1)+2]=2(a-2)(a-1)(a+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=2\\ a=1\\ a=-1\end{array}$

Seguimos con la eliminación. Sumando a la tercera ecuación el doble de la segunda dividida por 2 —es decir, sumando $2[(a-2)y+(a-1)z=-a]$ a la tercera— desaparece la $y$:

$(a-1{)}^{2}z+2(a-1)z=a-1-2a\Rightarrow (a-1)(a+1)z=-(a+1)$

Si $a\mathrm{\ne }2,1,-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado. Despejando en cadena,

$z=-{\displaystyle \frac{1}{a-1}},y={\displaystyle \frac{1-a}{a-2}},x={\displaystyle \frac{-a^2+a-1}{a-1}}$

Si $a=1$, la relación anterior queda $0\cdot z=-2$, imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=2$, de esa misma relación sale $z=-1$, pero la segunda ecuación se convierte en $0\cdot y+2z=-4\Rightarrow z=-2$: dos valores incompatibles para $z$. El sistema es incompatible.

Si $a=-1$, la relación es $0=0$: la tercera ecuación es consecuencia de las dos primeras y el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+3y-z=-1\\ -3y-2z=1\end{array}$

Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, es compatible indeterminado. Tomando $z=\lambda$,

$\{\begin{array}{l}x=3\lambda \\ y=-{\displaystyle \frac{1+2\lambda }{3}}\\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }2,1,-1$, incompatible para $a=1$ y para $a=2$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=-1$.