Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\{\begin{array}{l}(a-1)x-y=3\\ (a-1)x+(a+1)y-(2-a)z=-2a\\ (-2a+2)x-ay+(a^2-a-2)z=3a-1\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a-1& -1& 0\\ a-1& a+1& a-2\\ -2a+2& -a& a^2-a-2\end{array}\right)$

La tercera fila tiene $-2(a-1)$ en la primera columna, así que le sumamos el doble de la primera:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a-1& -1& 0\\ a-1& a+1& a-2\\ 0& -a-2& a^2-a-2\end{array}\mid$

y a la segunda fila le restamos la primera:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a-1& -1& 0\\ 0& a+2& a-2\\ 0& -a-2& a^2-a-2\end{array}\mid =(a-1)\mid \begin{array}{cc}a+2& a-2\\ -(a+2)& a^2-a-2\end{array}\mid$

Sacando $(a+2)$ de la primera columna del menor y teniendo en cuenta que $a^2-a-2=(a-2)(a+1)$,

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a-1)(a+2)[(a^2-a-2)+(a-2)]=(a-1)(a+2)(a^2-4)=(a-1)(a-2)(a+2{)}^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=2\\ a=-2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }1,2,-2$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x={\displaystyle \frac{1}{a-1}},y=-2,z={\displaystyle \frac{1}{a-2}}$

Si $a=1$, desaparece la incógnita $x$ y la primera ecuación queda $-y=3\Rightarrow y=-3$; llevándolo a la segunda, $2(-3)-z=-2\Rightarrow z=-4$, y la tercera exige $-(-3)-2(-4)=2$, es decir, $11=2$. El sistema es incompatible.

Si $a=2$, se anula el coeficiente de $z$ en las tres ecuaciones y queda

$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+3y=-4\\ -2x-2y=5\end{array}$

De las dos primeras, $4y=-7\Rightarrow y=-\frac{7}{4}$ y $x=\frac{5}{4}$, valores que no cumplen la tercera: $-2\left(\frac{5}{4}\right)-2(-\frac{7}{4})=1\mathrm{\ne }5$. El sistema es incompatible.

Si $a=-2$, el sistema es

$\{\begin{array}{l}-3x-y=3\\ -3x-y-4z=4\\ 6x+2y+4z=-7\end{array}$

Restando la primera de la segunda, $-4z=1\Rightarrow z=-\frac{1}{4}$, y la tercera resulta ser la suma de la primera multiplicada por $-2$ y el término en $z$, de modo que no aporta nada nuevo. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{\lambda +3}{3}}\\ y=\lambda \\ z=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }1,2,-2$, incompatible para $a=1$ y para $a=2$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=-2$.