Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que es compatible:

$\{\begin{array}{l}(a+1)x+(a^2+a)y=2\\ (-a-1)x-a^{2}y=0\\ ay+(a^2-1)z=3-a\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a+1& a^2+a& 0\\ -a-1& -a^2& 0\\ 0& a& a^2-1\end{array}\right)$

La tercera columna tiene dos ceros, así que desarrollamos por ella:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a^2-1)\mid \begin{array}{cc}a+1& a^2+a\\ -a-1& -a^2\end{array}\mid =(a^2-1)[-a^2(a+1)+a(a+1{)}^2]$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a^2-1)(a+1)[-a^2+a(a+1)]=(a^2-1)(a+1)a=a(a-1)(a+1{)}^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,1,-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=-{\displaystyle \frac{2a}{a+1}},y={\displaystyle \frac{2}{a}},z=-{\displaystyle \frac{1}{a+1}}$

Si $a=0$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x=2\\ -x=0\\ -z=3\end{array}$

Las dos primeras ecuaciones se contradicen, luego el sistema es incompatible.

Si $a=-1$, se anulan todos los coeficientes de la primera ecuación:

$\{\begin{array}{l}0=2\\ -y=0\\ -y=4\end{array}$

De nuevo es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=1$, se anula el coeficiente de $z$ y el sistema es

$\{\begin{array}{l}2x+2y=2\\ -2x-y=0\\ y=2\end{array}$

De la tercera, $y=2$; de la segunda, $x=-1$; y la primera se cumple, porque $-2+4=2$. La incógnita $z$ ha desaparecido y queda libre. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado:

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,1,-1$, incompatible para $a=0$ y para $a=-1$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=1$.