Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}(a^2-1)x+ay+a^{2}z=1\\ (a^2-1)x+(a+1)y+(a^2+a)z=2\\ y+(a^2+2a)z=a+2\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2-1& a& a^2\\ a^2-1& a+1& a^2+a\\ 0& 1& a^2+2a\end{array}\right)$

Restamos la primera fila a la segunda, que comparten el primer coeficiente:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}{a}^2-1& a& a^2\\ 0& 1& a\\ 0& 1& a^2+2a\end{array}\mid =(a^2-1)\mid \begin{array}{cc}1& a\\ 1& a^2+2a\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a^2-1)(a^2+2a-a)=(a-1)(a+1)\cdot a(a+1)=a(a-1)(a+1{)}^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,1,-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=-{\displaystyle \frac{1}{a+1}},y=0,z={\displaystyle \frac{1}{a}}$

Si $a=0$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}-x=1\\ -x+y=2\\ y=2\end{array}$

De la primera, $x=-1$; de la tercera, $y=2$; y la segunda exige $1+2=2$, que es falso. El sistema es incompatible: $\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})$.

Si $a=-1$, se anula $a^2-1$ y desaparece la incógnita $x$:

$\{\begin{array}{l}-y+z=1\\ 0=2\\ y-z=1\end{array}$

La segunda ecuación es imposible —y las otras dos también se contradicen entre sí—, luego el sistema es incompatible.

Si $a=1$, también desaparece $x$ y queda

$\{\begin{array}{l}y+z=1\\ 2y+2z=2\\ y+3z=3\end{array}$

La segunda es el doble de la primera, así que sobra. De la primera, $y=1-z$, y llevándolo a la tercera, $1-z+3z=3\Rightarrow z=1$ e $y=0$. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado y su solución es

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=0\\ z=1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,1,-1$, incompatible para $a=0$ y para $a=-1$, y compatible indeterminado con un grado de libertad para $a=1$.