Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}ax+y-2z=1\\ 3ax+a^{2}y-2a^{2}z=3\\ -ax-y+(a^2-1)z=a+\sqrt{3}-1\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -2\\ 3a& a^2& -2a^2\\ -a& -1& a^2-1\end{array}\right)$

Sumamos la primera fila a la tercera, con lo que esta se queda con un solo elemento no nulo:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 1& -2\\ 3a& a^2& -2a^2\\ 0& 0& a^2-3\end{array}\mid =(a^2-3)\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 3a& a^2\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(a^2-3)(a^3-3a)=(a^2-3)\cdot a(a^2-3)=a{(a^2-3)}^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=\sqrt{3}\\ a=-\sqrt{3}\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,\pm \sqrt{3}$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x={\displaystyle \frac{1}{a}},y={\displaystyle \frac{2}{a-\sqrt{3}}},z={\displaystyle \frac{1}{a-\sqrt{3}}}$

Si $a=0$, la segunda ecuación queda $0=3$, que es imposible: el sistema es incompatible.

Si $a=\sqrt{3}$, las tres filas de $M$ son proporcionales a la primera —la segunda es su triple y la tercera su opuesta—, de modo que $\mathrm{ran}(M)=1$. En cambio, en la ampliada la tercera fila no sigue esa proporción:

$-\sqrt{3}x-y+2z=\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}-1$

mientras que la opuesta de la primera exigiría $-1$. Como $2\sqrt{3}-1\mathrm{\ne }-1$, resulta $\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2\mathrm{\ne }1=\mathrm{ran}(M)$ y el sistema es incompatible.

Si $a=-\sqrt{3}$, el término independiente de la tercera ecuación es $a+\sqrt{3}-1=-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=-1$, que sí es el opuesto del primero, y el de la segunda, $3$, es el triple del primero. Las tres ecuaciones dicen entonces lo mismo:

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=1<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad, y se reduce a la primera ecuación:

$-\sqrt{3}x+y-2z=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{y-2z-1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(y-2z-1)$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(\lambda -2\mu -1)\\ y=\lambda \\ z=\mu \end{array}\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,\pm \sqrt{3}$, incompatible para $a=0$ y para $a=\sqrt{3}$, y compatible indeterminado con dos grados de libertad para $a=-\sqrt{3}$.