Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvalo en los casos en que sea compatible:

$\{\begin{array}{l}x+(a^2+a)z=0\\ x+(2a-1)y+(a+1)z=a\\ (2a-1)y+(a+1)z=0\end{array}$

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y es determinado cuando ese rango común iguala al número de incógnitas e indeterminado cuando es menor.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a^2+a\\ 1& 2a-1& a+1\\ 0& 2a-1& a+1\end{array}\right)$

Restamos la tercera fila a la segunda, con lo que esta queda con dos ceros:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& a^2+a\\ 1& 0& 0\\ 0& 2a-1& a+1\end{array}\mid$

y desarrollamos por la segunda fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& a^2+a\\ 2a-1& a+1\end{array}\mid =-[0-(a^2+a)(2a-1)]=a(a+1)(2a-1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=-1\\ a={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }0,-1,\frac{1}{2}$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$: el sistema es compatible determinado, con solución

$x=a,y={\displaystyle \frac{1}{2a-1}},z=-{\displaystyle \frac{1}{a+1}}$

Si $a=-1$, el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x-3y=-1\\ -3y=0\end{array}$

De la primera y la tercera se sigue $x=0$ e $y=0$, lo que llevado a la segunda da $0=-1$: el sistema es incompatible.

Si $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, se anula $2a-1$ y desaparece la incógnita $y$:

$\{\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}z=0\\ x+{\displaystyle \frac{3}{2}}z={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}z=0\end{array}$

De la tercera, $z=0$; de la primera, $x=0$; y la segunda dice entonces $0=\frac{1}{2}$. También es incompatible.

Si $a=0$, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x-y+z=0\\ -y+z=0\end{array}$

La segunda es suma de la primera y la tercera, así que sobra: queda $x=0$ e $y=z$. Como $\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\mathrm{\prime }})=2<3$, el sistema es compatible indeterminado y su solución es

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0,-1,\frac{1}{2}$, incompatible para $a=-1$ y para $a=\frac{1}{2}$, y compatible indeterminado para $a=0$.