Examen de Matemáticas II de Asturias 2024 (convocatoria extraordinaria)

Una fábrica produce tazas, platos y teteras de cerámica. Por cada uno de estos productos se utiliza una cantidad fija de material, que se introduce en la máquina de la cual sale la pieza preparada para el embalaje. En cada taza la máquina utiliza 5 minutos, 4 en cada plato y 8 en cada tetera. El coste del material utilizado es 3 € cada taza, 4 € cada plato y 3 € cada tetera. Se hace un estudio de la producción durante 50 minutos y se calcula que el coste es de 26 €.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcule, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo. [1 punto]

c) Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas? [0,75 puntos]

Sea $x\in \mathbb{R}$ y las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& x\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

a) Decida de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes $CAB$ y $BAC$. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse? [0,75 puntos]

b) Calcule según los valores de $x$ el rango de $A$. Para $x=0$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,75 puntos]

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

Dada la función $f(x)=\mathrm{sen}(\pi -2x)$.

a) Calcule una primitiva que pase por el punto $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},1)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ y $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. [1,25 puntos]

Se consideran los puntos $A=(0,-1,1)$ y $B=(2,1,3)$ de ${\mathbb{R}}^3$.

a) Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él. [1,25 puntos]

b) Encuentre la ecuación continua de la recta $r$ perpendicular al plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y+z=3$ y que contiene al punto $Q=(1,0,1)$. [1,25 puntos]

Se consideran los puntos $A=(1,1,1)$, $B=(1,0,2)$, $C=(-1,1,3)$ y $D=(-1,0,1)$.

a) Estudie si existe un plano que contenga a los cuatro puntos. [0,75 puntos]

b) Calcule la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule el punto $P$ intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ obtenidos en los apartados anteriores. [1 punto]

En un instituto el 55 % de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30 % de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado» y, de los que no hacen este Bachillerato, el 40 % cursan esta asignatura como optativa.

a) Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado»? [1,25 puntos]

b) Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado», ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología? [1,25 puntos]

En una comunidad autónoma se estudia la cantidad media de basura que se genera por habitante durante dos meses. Se observa que sigue una distribución normal de media 85 kg y desviación típica 15 kg.

a) ¿Qué porcentaje de población genera más de 90 kg cada dos meses? [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 10000 habitantes, ¿cuántos generan menos de 90 kg de basura? [0,75 puntos]

c) Se hace una campaña de concienciación y se observa que de las 10000 personas de la muestra, 5596 generan menos de 70 kg de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$ son: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,15})=\mathrm{0,5596}$, $F(\mathrm{0,3333})=\mathrm{0,6294}$, $F(\mathrm{0,385})=\mathrm{0,65}$, $F(\mathrm{0,5596})=\mathrm{0,7112}$, $F(\mathrm{0,6294})=\mathrm{0,7356}$, $F(\mathrm{0,8159})=\mathrm{0,7939}$, $F(\mathrm{0,9})=\mathrm{0,8159}$, $F(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,9}$.