Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La función es racional, así que quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$1-x=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. El numerador no se anula en $x=1$, luego ahí hay una.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

$x=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que la función no tiende a ningún número finito y no hay asíntota horizontal.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}=+\mathrm{\infty }$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. Al superar el numerador al denominador en exactamente un grado, sí la hay, y basta efectuar la división entera.

$x^2-4=(x-1)(x+1)-3\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2-4}{1-x}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)-3}{-(x-1)}}=-x-1+{\displaystyle \frac{3}{x-1}}$

Como $\frac{3}{x-1}\to 0$ cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$:

$y=-x-1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Derivamos aplicando la regla del cociente y estudiamos el signo del resultado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(1-x)-(x^2-4)(-1)}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x-2x^2+x^2-4}{(1-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2+2x-4}{(1-x{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -x^2+2x-4=0\Rightarrow x^2-2x+4=0$

$\mathrm{\Delta }=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0$

El numerador no tiene raíces reales. Como además su coeficiente principal es negativo, $-x^2+2x-4<0$ para todo $x$, y el denominador es un cuadrado positivo, de modo que $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ en todo el dominio.

$f\text{ es decreciente en }(-\mathrm{\infty },1)\text{ y en }(1,+\mathrm{\infty }),\text{ sin m}\acute{\text{a}}\text{ximos ni m}\acute{\text{ı}}\text{nimos relativos}$

Para los puntos de inflexión derivamos otra vez, partiendo de la forma $f(x)=-x-1+3(x-1{)}^{-1}$ obtenida en el apartado anterior, que es mucho más cómoda.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1-3(x-1{)}^{-2}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6(x-1{)}^{-3}={\displaystyle \frac{6}{(x-1{)}^3}}$

La segunda derivada no se anula nunca, luego no hay puntos de inflexión. Su signo cambia al atravesar $x=1$, que no está en el dominio:

$x<1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es c}\acute{\text{o}}\text{ncava};x>1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es convexa}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Añadimos los cortes con los ejes para situar la curva.

$y=0\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow (-2,0)\text{ y }(2,0)$

$x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{-4}{1}}=-4\Rightarrow (0,-4)$

La rama de la izquierda baja desde la asíntota oblicua hasta $-\mathrm{\infty }$ al acercarse a $x=1$, y la de la derecha desciende desde $+\mathrm{\infty }$ pegándose después a esa misma asíntota. Es coherente con que la función decrezca en los dos intervalos.