Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

a) Haga un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad. [1,5 puntos]

b) Calcule el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=1$, la recta $y=1$ y el eje de ordenadas. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{determinando:}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas,}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{regiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{convexidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{concavidad.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Seguimos el orden habitual del estudio de una función: dominio, asíntotas, monotonía, extremos y curvatura.

Dominio. La función es racional y su denominador se anula solo en el origen.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. El único candidato es el punto excluido del dominio.

${\lim }_{x\to 0}(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=1-{\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

$x=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Nótese que el límite es $-\mathrm{\infty }$ por los dos lados, porque $x^2$ es positivo se acerque $x$ a cero por donde se acerque.

Asíntotas horizontales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=1-0=1$

$y=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber oblicua.

Monotonía y extremos. Derivamos escribiendo antes $f(x)=1-x^{-2}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^{-3}={\displaystyle \frac{2}{x^3}}$

La derivada no se anula nunca, de modo que no hay máximos ni mínimos relativos. Su signo es el de $x^3$:

$x<0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ decrece};x>0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ crece}$

Curvatura. Derivamos otra vez.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x^{-4}={\displaystyle \frac{-6}{x^4}}$

Como $x^4>0$ en todo el dominio, la segunda derivada es siempre negativa y no se anula nunca.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\mathrm{\forall }x\mathrm{\ne }0\Rightarrow f\text{ es c}\acute{\text{o}}\text{ncava en todo su dominio, sin puntos de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n}$

Cortes con los ejes. No corta al eje de ordenadas, porque el origen no está en el dominio.

$f(x)=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$





Hallamos primero la recta tangente, con el valor de la función y el de su derivada en $x=1$.

$f(1)=1-1=0,f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$

$y-0=2(x-1)\Rightarrow y=2x-2$

Las tres rectas que limitan la región son $y=2x-2$, $y=1$ y $x=0$, así que el recinto es un triángulo. Calculamos sus vértices cortándolas dos a dos.

$y=2x-2\cap x=0\Rightarrow (0,-2)$

$y=1\cap x=0\Rightarrow (0,1)$

$y=2x-2\cap y=1\Rightarrow 2x-2=1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow ({\displaystyle \frac{3}{2}},1)$



Al tratarse de un triángulo se puede calcular el área directamente, tomando como base el lado que descansa sobre el eje de ordenadas.

$\text{base}=1-(-2)=3,\text{altura}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$

También se obtiene integrando la diferencia entre la recta de arriba y la de abajo:

$\mathcal{A}={\int }_0^{3\mathrm{/}2}[1-(2x-2)]dx={\int }_0^{3\mathrm{/}2}(3-2x)dx={[3x-x^2]}_0^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$

El área de la región es de $\frac{9}{4}=\mathrm{2,25}$ unidades de área.