Examen de Matemáticas II de Asturias 2021 (convocatoria extraordinaria)

Dado el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}ax+z=a\\ 2x-y-z=-1\\ x+az=a\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) Estudie y clasifique el sistema según los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. [1 punto]

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$. Calcule:

a) Si existe, su inversa. [1 punto]

b) La matriz $X$ cuadrada de orden 3 que verifica $(X+A{)}^2-X^2-X\cdot A=I_3$, siendo $I_3$ la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

Sea la función $f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

a) Haga un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad. [1,5 puntos]

b) Calcule el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=1$, la recta $y=1$ y el eje de ordenadas. [1 punto]

En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine, como muestra la figura. La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función $f(x)=12-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}\ge 0$. Calcule los valores positivos $(x,y)$ que hacen máxima el área de la pantalla. [2,5 puntos]

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,6)$ y $D(\alpha ,3,1)$. Calcule:

a) El área del triángulo limitado por los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) El valor de $\alpha$ para que el vector $\overrightarrow{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. [0,75 puntos]

d) Para $\alpha =5$, el punto $D^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $D$ respecto al plano $\pi$. [0,5 puntos]

Sean el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+z=0\end{array}$. Calcule:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. [0,75 puntos]

b) La distancia de $r$ a $P$ y el punto $Q\in r$ donde se alcanza dicha distancia. [1 punto]

c) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y está a la misma distancia de $P$ que $r$. [0,75 puntos]

Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos, y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja, se extrae al azar un dado de la caja C. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. [0,75 puntos]

c) La probabilidad de que el dado sea rojo. [1 punto]

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu =30$ y desviación típica $\sigma =10$. Calcule:

a) La probabilidad de que $X\le 20$. [1,25 puntos]

b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50 % se alcanza en el valor $X\le 35$ y la probabilidad del 75 % se alcanza en el valor $X\le 40$. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,6745})=\mathrm{0,75}$, $F(\mathrm{0,8416})=\mathrm{0,8}$, $F(1)=\mathrm{0,8413}$, $F(\mathrm{1,375})=\mathrm{0,9154}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(2)=\mathrm{0,9772}$.