Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,6)$ y $D(\alpha ,3,1)$. Calcule:

a) El área del triángulo limitado por los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) El valor de $\alpha$ para que el vector $\overrightarrow{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. [0,75 puntos]

d) Para $\alpha =5$, el punto $D^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $D$ respecto al plano $\pi$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El área de un triángulo del espacio es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, así que tomamos los dos que salen de $A$.

$\overrightarrow{AB}=(0,2,0)-(3,0,0)=(-3,2,0),\overrightarrow{AC}=(0,0,6)-(3,0,0)=(-3,0,6)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& 2& 0\\ -3& 0& 6\end{array}\mid =(12-0)\vec{i}-(-18-0)\vec{j}+(0+6)\vec{k}=(12,18,6)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{{12}^2+{18}^2+6^2}=\sqrt{144+324+36}=\sqrt{504}=6\sqrt{14}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{6\sqrt{14}}{2}}=3\sqrt{14}\approx \mathrm{11,22}$

El área del triángulo $ABC$ es de $3\sqrt{14}\approx \mathrm{11,22}$ unidades de área.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El producto vectorial calculado en el apartado anterior es ya un vector normal del plano; lo simplificamos dividiendo entre 6.

${\vec{n}}_{\pi }=(12,18,6)\Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }=(2,3,1)$

$\pi :2x+3y+z+D=0$

Imponemos que pase por $A(3,0,0)$:

$2\cdot 3+0+0+D=0\Rightarrow D=-6$

Comprobamos con los otros dos vértices:

$B(0,2,0):3\cdot 2=6;C(0,0,6):1\cdot 6=6$

El plano pedido es $\pi :2x+3y+z=6$.



Un vector es perpendicular a un plano cuando es paralelo a su normal, es decir, cuando sus componentes son proporcionales a las de esta.

$\overrightarrow{AD}=(\alpha ,3,1)-(3,0,0)=(\alpha -3,3,1)$

${\displaystyle \frac{\alpha -3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{3}}={\displaystyle \frac{1}{1}}$

Las dos últimas razones ya valen 1, de modo que la primera también debe valerlo:

${\displaystyle \frac{\alpha -3}{2}}=1\Rightarrow \alpha -3=2\Rightarrow \alpha =5$

El valor pedido es $\alpha =5$, y entonces $\overrightarrow{AD}=(2,3,1)={\vec{n}}_{\pi }$.



Aquí el apartado anterior ahorra casi todo el trabajo: si $\overrightarrow{AD}$ es perpendicular a $\pi$ y $A$ pertenece al plano, entonces $A$ es justamente el pie de la perpendicular trazada desde $D$.



Basta razonar que ese pie es el punto medio del segmento $\overline{D{D}^{\mathrm{\prime }}}$:

$A=({\displaystyle \frac{5+D_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{3+D_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+D_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})=(3,0,0)$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{5+D_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}=3\Rightarrow D_x^{\mathrm{\prime }}=1\\ {\displaystyle \frac{3+D_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=0\Rightarrow D_y^{\mathrm{\prime }}=-3\\ {\displaystyle \frac{1+D_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}=0\Rightarrow D_z^{\mathrm{\prime }}=-1\end{array}$

El simétrico de $D(5,3,1)$ respecto del plano $\pi$ es $D^{\mathrm{\prime }}(1,-3,-1)$.