Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sea el prisma triangular de la figura, con los triángulos de las bases iguales y paralelos, y con $A(1,0,0)$, $B^{\mathrm{\prime }}(-1,2,2)$, $C(0,3,0)$ y $C^{\mathrm{\prime }}(0,4,2)$. Sean $\pi$ el plano al que pertenecen los puntos $A$, $B$ y $C$, y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ el plano al que pertenecen los puntos $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$ y $C^{\mathrm{\prime }}$. Calcule:

a) Las coordenadas de los puntos restantes: $A^{\mathrm{\prime }}$ y $B$. [0,75 puntos]

b) La distancia entre los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. [0,75 puntos]

c) El volumen del prisma triangular. [1 punto]

En un prisma, la base superior se obtiene trasladando la inferior con un mismo vector, el que va de cada vértice a su homólogo. Ese vector se lee en la pareja de puntos que el enunciado da completa.

$\vec{u}=\overrightarrow{C{C}^{\mathrm{\prime }}}=(0,4,2)-(0,3,0)=(0,1,2)$

Con él pasamos de $A$ a $A^{\mathrm{\prime }}$ y volvemos de $B^{\mathrm{\prime }}$ a $B$:

$A^{\mathrm{\prime }}=A+\vec{u}=(1,0,0)+(0,1,2)=(1,1,2)$

$B=B^{\mathrm{\prime }}-\vec{u}=(-1,2,2)-(0,1,2)=(-1,1,0)$

Los puntos que faltan son $A^{\mathrm{\prime }}(1,1,2)$ y $B(-1,1,0)$.



Calculamos primero el plano de la base inferior, que contiene a $A$, $B$ y $C$.

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)-(1,0,0)=(-2,1,0),\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,0,0)=(-1,3,0)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& 0\\ -1& 3& 0\end{array}\mid =(0-0)\vec{i}-(0-0)\vec{j}+(-6+1)\vec{k}=(0,0,-5)$

Los tres puntos tienen la tercera coordenada nula, así que el plano es sencillamente:

$\pi :z=0$

Los tres vértices de la base superior tienen $z=2$, de modo que:

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:z=2$

Los dos planos son paralelos y la distancia entre ellos se mide desde cualquier punto de uno al otro:

$d(\pi ,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=d(A,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}}=2$

La distancia entre los dos planos es de 2 unidades de longitud.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prisma}}\mathbf{\text{triangular.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El volumen de un prisma es el área de la base por la altura, entendiendo por altura la distancia entre los planos de las dos bases, que ya está calculada.

${\mathcal{A}}_{\text{base}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{0^2+0^2+(-5{)}^2}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

$V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\cdot h={\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot 2=5$

Se puede comprobar con el producto mixto, que da el volumen del paralelepípedo construido sobre las tres aristas; el prisma es su mitad:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\vec{u}]=\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ -1& 3& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 3\end{array}\mid =2(-6+1)=-10$

$V={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-10\mathrm{\mid }}{2}}=5$

El volumen del prisma triangular es de 5 unidades cúbicas.