Examen de Matemáticas II de Asturias 2020 (convocatoria ordinaria)

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? [1,25 puntos]

b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcule el precio inicial de cada artículo. [1,25 puntos]

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 3\\ 1& m& 2\\ 1& m& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$.

a) Discuta el rango de $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz $X$ para que sea posible la ecuación $A\cdot X=B$? [0,5 puntos]

c) Calcule la matriz $X$ del apartado anterior para $m=0$. [1 punto]

Sea la función $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

a) Halle los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión. [1 punto]

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboce una gráfica de la función. [1 punto]

c) Calcule la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=2$. [0,5 puntos]

Sea la función $f(x)=4-x^2$.

a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado $D$. Calcule su área. [1 punto]

b) La gráfica de la función $g(x)=3x^2$ divide $D$ en tres partes $D_1$, $D_2$ y $D_3$. Haga un dibujo de los tres recintos. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto $D_2$ que contiene al punto $P(0,1)$. [0,75 puntos]

Dados el punto $A(2,1,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y+z=0\end{array}$.

a) Calcule un vector director de la recta $r$. [0,75 puntos]

b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y a la recta $r$. [0,75 puntos]

c) La ecuación de la recta $s$ contenida en $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. [1 punto]

Sea el prisma triangular de la figura, con los triángulos de las bases iguales y paralelos, y con $A(1,0,0)$, $B^{\mathrm{\prime }}(-1,2,2)$, $C(0,3,0)$ y $C^{\mathrm{\prime }}(0,4,2)$. Sean $\pi$ el plano al que pertenecen los puntos $A$, $B$ y $C$, y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ el plano al que pertenecen los puntos $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$ y $C^{\mathrm{\prime }}$. Calcule:

a) Las coordenadas de los puntos restantes: $A^{\mathrm{\prime }}$ y $B$. [0,75 puntos]

b) La distancia entre los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. [0,75 puntos]

c) El volumen del prisma triangular. [1 punto]

En un espacio muestral se tienen dos sucesos: $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$, $P(A\mathrm{/}B)=P(B\mathrm{/}A)$ y $P(\bar{A})=\mathrm{0,2}$, siendo $\bar{A}$ el suceso contrario de $A$. Calcule:

a) $P(B\mathrm{/}A)$. [1 punto]

b) $P(B)$. [1 punto]

c) ¿Son los sucesos independientes? [0,5 puntos]

Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las $2\mathrm{/}3$ partes de las veces y los delanteros las $3\mathrm{/}4$ partes de las veces.

a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? [1,25 puntos]

b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcule la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(\mathrm{3,25})=\mathrm{0,9994}$, $F(\mathrm{3,2917})=\mathrm{0,9995}$, $F(\mathrm{3,3333})=\mathrm{0,9996}$, $F(\mathrm{3,375})=\mathrm{0,9996}$, $F(\mathrm{3,4167})=\mathrm{0,9997}$.