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Examen de Matemáticas II de Asturias 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Asturias, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Dado

x \in R

y las matrices

A = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & - 2 \\ - 1 & x - 1 & - 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

C = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \end{array})

.

a) Calcule los valores de

x

para los cuales la matriz

A

no posee inversa. [1 punto]

b) Calcule el rango de

A

según los valores de

x

. [0,75 puntos]

c) Para

x = 1

, calcule en caso de que sea posible

A \cdot B

A \cdot C

, o indique por qué no se puede realizar. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Dado

m \in R

, se considera el sistema lineal

{\begin{cases} 2 x + y + z = 1 \\ x + 2 y + z = - 1 \\ 3 x + 3 y + 2 z = m \end{cases}

a) Discuta el sistema según los valores de

m

y resuélvalo en los casos en los que sea posible. [1,75 puntos]

b) Estudie si es posible encontrar una solución en la que

z = 3

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Se considera la función

f (x) = \frac{2 x^{2}}{1 - x}

.

a) Calcule el dominio de la función

f

y sus asíntotas. [0,75 puntos]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de

f

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Dada la función

f (x) = - sen (2 x) + 1

.

a) Calcule una primitiva que pase por el origen de coordenadas. [1,25 puntos]

b) Calcule el área limitada por

f

, el eje X y las rectas

x = 0

x = π

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Dadas las rectas

r \equiv {\begin{cases} x = 1 + α \\ y = 1 \\ z = - α \end{cases}

s

perpendicular a

r

, y el vector

\vec{v} = (1, 1, 1)

.

a) Calcule

{\vec{v}}_{r}

, un vector director de

r

. [0,5 puntos]

b) Calcule un vector

\vec{u}

director de

s

tal que

\vec{u} \times {\vec{v}}_{r}

es proporcional a

\vec{v}

. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene a las rectas

r

s^{'}

, siendo

s^{'} \equiv x - 1 = \frac{y - 1}{- 2} = z

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Dados los puntos

A = (1, 0, 1)

B = (1, 6, 1)

C = (- 2, - 1, 5)

E = (- 1, 1, 1)

.

a) Calcule la ecuación del plano

π

que contiene a los puntos

A

B

C

. [0,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto

D

para que el polígono

A B C D

sea un paralelogramo y el área de

A B C D

. [1,25 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta perpendicular al plano

π

y que pasa por

E

. [0,75 puntos]

Figura del ejercicio

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70 % de las personas que entran son mujeres. El 40 % de los hombres y el 30 % de las mujeres que entran son menores de 30 años.

a) Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años. [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años? [0,5 puntos]

c) Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución normal

Se está estudiando la altura de la población adulta de una cierta ciudad y se observa que el modelo se rige por una distribución normal con media 1,75 m y desviación típica 0,65 m.

a) Calcule la probabilidad de que, tomado un adulto al azar, mida más de 1,85 m. [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 10000 personas, ¿cuántas personas medirán más de 1,85 m? [0,75 puntos]

c) Se observa que, de las 10000 personas de la muestra, 6500 miden menos de 1,90 m. Suponiendo que se mantiene la media, ¿cuál sería la desviación típica? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución

N (0, 1)

son:

F (x) = P (Z \leq x)

F (0) = 0,5

F (0,15) = 0,6

F (0,1538) = 0,5596

F (0,65) = 0,7422

F (0,385) = 0,65

Ver la solución del ejercicio 8