Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $m\in \mathbb{R}$, se considera el sistema lineal

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=1\\ x+2y+z=-1\\ 3x+3y+2z=m\end{array}$

a) Discuta el sistema según los valores de $m$ y resuélvalo en los casos en los que sea posible. [1,75 puntos]

b) Estudie si es posible encontrar una solución en la que $z=3$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, en el que conviene observar que la tercera fila es la suma de las dos primeras.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 3& 3& 2\end{array}\mid =0$

$F_3=F_1+F_2\Rightarrow \text{las tres filas son linealmente dependientes}$

El determinante es nulo para cualquier valor de $m$, porque el parámetro está en el término independiente y no en la matriz de coeficientes. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =4-1=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la matriz ampliada con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 3& 3& m\end{array}\mid =2(2m+3)-1(m+3)+1(3-6)$

$=4m+6-m-3-3=3m$

$3m=0\Rightarrow m=0$

Si $m\mathrm{\ne }0$:

$\mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=0$:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Lo resolvemos en ese caso. Como el rango es 2, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo; la tercera es su suma y no aporta nada.

$\{\begin{array}{l}2x+y+z=1\\ x+2y+z=-1\end{array}$

Restando la segunda de la primera desaparece $z$:

$x-y=2\Rightarrow x=y+2$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos $z$ de la primera ecuación:

$2(\lambda +2)+\lambda +z=1\Rightarrow 3\lambda +4+z=1\Rightarrow z=-3-3\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda +2,\lambda ,-3-3\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$3(\lambda +2)+3\lambda +2(-3-3\lambda )=3\lambda +6+3\lambda -6-6\lambda =0=m$



Solo hay soluciones cuando $m=0$, así que buscamos entre las infinitas obtenidas en el apartado anterior la que cumple la condición pedida.

$z=-3-3\lambda =3\Rightarrow -3\lambda =6\Rightarrow \lambda =-2$

$(x,y,z)=(-2+2,-2,3)=(0,-2,3)$

Comprobamos la terna en las tres ecuaciones con $m=0$:

$2\cdot 0+(-2)+3=1,0+2(-2)+3=-1,3\cdot 0+3(-2)+2\cdot 3=0$

Sí es posible, siempre que $m=0$: la solución con $z=3$ es $(0,-2,3)$. Para cualquier otro valor de $m$ el sistema no tiene ninguna solución.