Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}ax+z=a\\ 2x-y-z=-1\\ x+az=a\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) Estudie y clasifique el sistema según los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, que desarrollamos por la segunda columna, la que tiene dos ceros.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 2& -1& -1\\ 1& 0& a\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\end{array}\mid =-(a^2-1)=1-a^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }\pm 1$:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=1$, el sistema queda:

$\{\begin{array}{l}x+z=1\\ 2x-y-z=-1\\ x+z=1\end{array}$

La primera y la tercera ecuación son la misma, así que solo hay dos ecuaciones distintas.

$\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $a=-1$, el sistema queda:

$\{\begin{array}{l}-x+z=-1\\ 2x-y-z=-1\\ x-z=-1\end{array}$

Ahora la primera y la tercera ecuación son contradictorias: la primera dice $x-z=1$ y la tercera $x-z=-1$. Lo confirmamos orlando el menor no nulo con la columna de términos independientes.

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =-1(1-0)-1(0+1)=-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=\pm 1$: con $a=1$ es compatible indeterminado y con $a=-1$ es incompatible.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El único caso indeterminado es $a=1$. Como el rango es 2, nos quedamos con dos ecuaciones y pasamos la tercera incógnita al otro miembro como parámetro.

$z=\lambda \Rightarrow x+\lambda =1\Rightarrow x=1-\lambda$

Sustituimos en la segunda ecuación y despejamos $y$:

$2(1-\lambda )-y-\lambda =-1$

$2-2\lambda -y-\lambda =-1\Rightarrow y=3-3\lambda$

$(x,y,z)=(1-\lambda ,3-3\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos la solución en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$x+z=(1-\lambda )+\lambda =1=a$

El sistema tiene infinitas soluciones, los puntos de la recta $(1-\lambda ,3-3\lambda ,\lambda )$.