Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia $A$ le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia $B$ le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia $C$ le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos y calcule, si es posible, dicho precio. [1,5 puntos]

b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? Se mantiene el precio del viaje a Tailandia. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permita}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{destinos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{precio.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al precio, en euros, de un viaje al Caribe, a las Maldivas y a Tailandia. Cada agencia da una ecuación: se multiplica el número de viajes de cada destino por su precio y se iguala a lo cobrado.

$\{\begin{array}{l}10x+10y+10z=12000\\ 10x+20z=13000\\ 10x+10y=7000\end{array}$

Todos los coeficientes son múltiplos de 10, así que dividimos las tres ecuaciones para simplificar.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1200\\ x+2z=1300\\ x+y=700\end{array}$

Antes de resolver comprobamos que la solución es única:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =1(0-2)-1(0-2)+1(1-0)=-2+2+1=1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Restando la tercera ecuación de la primera se obtiene el precio de Tailandia:

$z=1200-700=500$

Con él, la segunda ecuación da el del Caribe:

$x+2\cdot 500=1300\Rightarrow x=300$

$y=700-300=400$

El viaje al Caribe cuesta 300 €, el de las Maldivas 400 € y el de Tailandia 500 €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{obligasen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{rebajar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Caribe}}\mathbf{\text{dejando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{iguales,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{perder}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Lo que se pierde es la rebaja aplicada a cada uno de los viajes al Caribe que se han vendido, así que hay que contarlos primero.

$10+10+10=30\text{ viajes al Caribe}$

La rebaja por viaje es el 20 % de su precio:

$\mathrm{0,20}\cdot 300=60\text{ €}$

$30\cdot 60=1800\text{ €}$

Perdería 1800 €. Comprobación: la recaudación total pasa de $12000+13000+7000=32000$ € a 30 200 €.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{Islas}}\mathbf{\text{Maldivas}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{compensar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bajada}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Caribe}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{recaudar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{dinero?}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{mantiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Tailandia.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los 1800 € que se pierden hay que recuperarlos repartiéndolos entre los viajes a las Maldivas que se venden, que son los de la agencia $A$ y los de la $C$.

$10+10=20\text{ viajes a las Maldivas}$

${\displaystyle \frac{1800}{20}}=90\text{ € de subida por viaje}$

$y^{\mathrm{\prime }}=400+90=490\text{ €}$

Lo comprobamos recalculando la recaudación con el Caribe a 240 € y las Maldivas a 490 €:

$(10\cdot 240+10\cdot 490+10\cdot 500)+(10\cdot 240+20\cdot 500)+(10\cdot 240+10\cdot 490)=32000\text{ €}$

El viaje a las Islas Maldivas debería costar 490 €.