Examen de Matemáticas II de Asturias 2023 (convocatoria ordinaria)

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& -5\end{array}\right)$.

a) Calcule todas las matrices $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ tales que $A\cdot X=2X$. [1,25 puntos]

b) Calcule todas las matrices $M$ que cumplen $M(B+I)=2I$, donde $I$ es la matriz identidad $2\times 2$. [1,25 puntos]

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcule, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz $D$ tal que se pueda realizar el producto $A\cdot D\cdot B$. [0,75 puntos]

b) Estudie si puede existir una matriz $M$ tal que $M\cdot A=B$. [0,5 puntos]

c) Estudie si existe $(B\cdot A{)}^{-1}$ y calcúlela en caso de que sea posible. [1,25 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=-x^2$ y $g(x)=x^2+x-1$ se pide:

a) Calcule los puntos de corte de ambas curvas y dibuje el recinto limitado por ambas funciones. [1,25 puntos]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1,25 puntos]

Calcule las coordenadas del punto $P$ interior al triángulo y situado sobre la altura, tal que la suma de las distancias de $P$ a los tres vértices sea mínima. [2,5 puntos]

Dada la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=1\end{array}$ y el plano $\pi \equiv ax+2y+(a-3)z=4$.

a) Calcule $a$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos y, en ese caso, calcule la distancia de $r$ a $\pi$. [1,25 puntos]

b) Para $a=1$, calcule el plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. [1,25 puntos]

Dados los puntos $A=(1,0,0)$ y $B=(-1,4,-4)$.

a) Calcule el plano $\pi$ que hace que $A$ y $B$ sean simétricos. [1,5 puntos]

b) Calcule la distancia de $A$ a $\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule una ecuación continua de la recta que pasa por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

Una compañía tiene tres centrales en Europa en las que se fabrica el mismo producto. El 60 % de las unidades de dicho producto se fabrica en España, el 25 % en Francia y el resto en Portugal. Se observa que de las unidades fabricadas tienen algún defecto el 1 % de los fabricados en España, el 0,5 % de los fabricados en Francia y el 2 % de los fabricados en Portugal. El departamento de control de calidad central toma una de las unidades fabricadas al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad seleccionada tenga algún defecto? [1,25 puntos]

b) Si la unidad seleccionada es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en Portugal? [1,25 puntos]

En un examen de acceso a Médico Interno Residente se realiza un test y se supera la prueba si se obtiene al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones de los candidatos siguen una distribución normal de media 70 y desviación típica 10, calcule:

a) La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo $[75,85]$. [1,25 puntos]

b) Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 90 puntos es $\mathrm{0,05}$. Decida si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$ son: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}$, $F(\mathrm{0,95})=\mathrm{0,8289}$, $F(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$, $F(\mathrm{1,645})=\mathrm{0,95}$, $F(\mathrm{1,8})=\mathrm{0,9641}$.