Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dada la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=1\end{array}$ y el plano $\pi \equiv ax+2y+(a-3)z=4$.

a) Calcule $a$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos y, en ese caso, calcule la distancia de $r$ a $\pi$. [1,25 puntos]

b) Para $a=1$, calcule el plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano y, además, la recta no está contenida en él. Empezamos leyendo los dos vectores.

${\vec{v}}_r=(1,-1,0),{\vec{n}}_{\pi }=(a,2,a-3)$

Imponemos que el producto escalar se anule:

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=a\cdot 1+2\cdot (-1)+(a-3)\cdot 0=a-2$

$a-2=0\Rightarrow a=2$

Con ese valor, $\pi :2x+2y-z=4$. Comprobamos que la recta no está contenida en el plano sustituyendo su punto de paso $P_r(2,-1,1)$:

$2\cdot 2+2\cdot (-1)-1=4-2-1=1\mathrm{\ne }4$

La recta es, pues, paralela al plano y no está contenida en él.



Al ser paralelos, todos los puntos de $r$ están a la misma distancia de $\pi$, así que basta medirla desde $P_r$.

$d(r,\pi )=d(P_r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 2+2\cdot (-1)-1\cdot 1-4\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-3\mathrm{\mid }}{\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$

Para $a=2$ la recta es paralela al plano y la distancia entre ambos es de 1 unidad de longitud.



Con $a=1$ el plano de partida es $\pi :x+2y-2z=4$, de normal ${\vec{n}}_{\pi }=(1,2,-2)$.

El plano buscado contiene a $r$, luego su normal es perpendicular a ${\vec{v}}_r$; y es perpendicular a $\pi$, luego su normal también lo es a ${\vec{n}}_{\pi }$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

${\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& 2& -2\end{array}\mid$

$=(2-0)\vec{i}-(-2-0)\vec{j}+(2+1)\vec{k}=(2,2,3)$

Escribimos la ecuación general e imponemos que pase por el punto de la recta $P_r(2,-1,1)$:

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:2x+2y+3z+D=0$

$2\cdot 2+2\cdot (-1)+3\cdot 1+D=0\Rightarrow 4-2+3+D=0\Rightarrow D=-5$

El plano pedido es ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:2x+2y+3z-5=0$.