Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dadas las rectas $r\equiv \{\begin{array}{l}x=1+\alpha \\ y=1\\ z=-\alpha \end{array}$, $s$ perpendicular a $r$, y el vector $\vec{v}=(1,1,1)$.

a) Calcule ${\vec{v}}_r$, un vector director de $r$. [0,5 puntos]

b) Calcule un vector $\vec{u}$ director de $s$ tal que $\vec{u}\times {\vec{v}}_r$ es proporcional a $\vec{v}$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s^{\mathrm{\prime }}$, siendo $s^{\mathrm{\prime }}\equiv x-1={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}=z$. [1 punto]

La recta viene dada en ecuaciones paramétricas, así que su director son los coeficientes del parámetro en las tres coordenadas.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\alpha \\ y=1\\ z=-\alpha \end{array}\Rightarrow P_r(1,1,0),{\vec{v}}_r=(1,0,-1)$



El vector pedido ha de cumplir dos condiciones: como $s$ es perpendicular a $r$, su producto escalar con ${\vec{v}}_r$ ha de anularse; y su producto vectorial con ${\vec{v}}_r$ ha de ser un múltiplo de $\vec{v}$. Llamamos $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y escribimos las dos.

$\vec{u}\cdot {\vec{v}}_r=u_1-u_3=0\Rightarrow u_1=u_3$

$\vec{u}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(-u_2,u_1+u_3,-u_2)$

Que ese vector sea proporcional a $\vec{v}=(1,1,1)$ significa que sus tres componentes son iguales entre sí:

$-u_2=u_1+u_3=-u_2$

Usando $u_1=u_3$ la condición se reduce a una sola igualdad:

$-u_2=2u_1\Rightarrow u_2=-2u_1$

Tomando $u_1=1$ resulta el vector más sencillo:

$\vec{u}=(1,-2,1)$

Comprobamos las dos condiciones:

$\vec{u}\cdot {\vec{v}}_r=1-1=0,\vec{u}\times {\vec{v}}_r=(2,2,2)=2\vec{v}$

Un vector válido es $\vec{u}=(1,-2,1)$, y cualquier múltiplo suyo también lo es.



Leemos punto y director de $s^{\mathrm{\prime }}$ en su ecuación continua y observamos que su director es justamente el vector hallado en el apartado anterior.

$P_{s^{\mathrm{\prime }}}(1,1,0),{\vec{v}}_{s^{\mathrm{\prime }}}=(1,-2,1)$

Las dos rectas pasan por el mismo punto $(1,1,0)$, luego son secantes y determinan un único plano.



El normal de ese plano es perpendicular a los dos directores, así que lo obtenemos con su producto vectorial.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_{s^{\mathrm{\prime }}}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 1& -2& 1\end{array}\mid =(0-2)\vec{i}-(1+1)\vec{j}+(-2-0)\vec{k}=(-2,-2,-2)$

Simplificamos dividiendo entre $-2$ e imponemos que el plano pase por el punto común:

$\vec{n}=(1,1,1)\Rightarrow \pi :x+y+z+D=0$

$1+1+0+D=0\Rightarrow D=-2$

El plano que contiene a las dos rectas es $\pi :x+y+z=2$.