Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las rectas $r:{\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}=z$ y $s:\{\begin{array}{l}x+2y=-1\\ z=1\end{array}$.

a) Compruebe que las rectas se cruzan. [0,75 puntos]

b) Obtenga el plano $\pi$ que contiene a $s$ y es paralelo a la recta $r$. Halle la distancia entre el punto $P=(-1,1,0)$ de la recta $r$ y el plano $\pi$. [1,25 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cruzan.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos un punto y un vector director de cada recta. Los de $r$ se leen en su ecuación continua; para $s$, que viene como intersección de dos planos, el director es el producto vectorial de las dos normales.

$P_r(-1,1,0),{\vec{v}}_r=(3,-2,1)$

${\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =(2-0)\vec{i}-(1-0)\vec{j}+0\vec{k}=(2,-1,0)$

Un punto de $s$ se obtiene dando un valor: con $y=0$ resulta $x=-1$, y siempre $z=1$.

$P_s(-1,0,1)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{3}{2}\mathrm{\ne }\frac{-2}{-1}$, así que las rectas no son paralelas: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(-1,0,1)-(-1,1,0)=(0,-1,1)$

$[{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{P_r{P}_s}]=\mid \begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 2& -1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\mid$

$=3(-1-0)+2(2-0)+1(-2-0)=-3+4-2=-1\mathrm{\ne }0$

Al no anularse el producto mixto, los tres vectores no son coplanarios y las rectas se cruzan.





El plano contiene a $s$ y es paralelo a $r$, de modo que los dos directores son direcciones suyas y su normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& -2& 1\\ 2& -1& 0\end{array}\mid =(0+1)\vec{i}-(0-2)\vec{j}+(-3+4)\vec{k}=(1,2,1)$

Imponemos que pase por $P_s(-1,0,1)$:

$\pi :x+2y+z+D=0\Rightarrow -1+0+1+D=0\Rightarrow D=0$

$\pi :x+2y+z=0$

Calculamos ahora la distancia del punto al plano.

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-1+2\cdot 1+0\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\approx \mathrm{0,41}$

El plano pedido es $\pi :x+2y+z=0$ y la distancia vale $\frac{\sqrt{6}}{6}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como $\pi$ contiene a $s$ y es paralelo a $r$, toda la recta $r$ está a la misma distancia de $\pi$, y esa distancia es justo la que separa a las dos rectas. El apartado anterior ya la ha calculado.

$d(r,s)=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$

También se puede obtener con la fórmula del producto mixto, que da lo mismo:

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid [{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{P_r{P}_s}]\mid }{\mid {\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s\mid }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$

La distancia entre las dos rectas es de $\frac{\sqrt{6}}{6}\approx \mathrm{0,41}$ unidades de longitud.