Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sean el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+z=0\end{array}$. Calcule:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. [0,75 puntos]

b) La distancia de $r$ a $P$ y el punto $Q\in r$ donde se alcanza dicha distancia. [1 punto]

c) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y está a la misma distancia de $P$ que $r$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,1,1),{\vec{n}}_2=(1,0,1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =(1-0)\vec{i}-(1-1)\vec{j}+(0-1)\vec{k}=(1,0,-1)$

Para un punto resolvemos el sistema. Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene $y$:

$(x+y+z)-(x+z)=0\Rightarrow y=0$

Queda $x+z=0$; tomando $x=0$ resulta $z=0$, de modo que la recta pasa por el origen.

$r:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=0\\ z=-\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$



El punto $Q$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$, así que lo buscamos imponiendo que el vector $\overrightarrow{PQ}$ sea perpendicular al director de la recta.



$Q\in r\Rightarrow Q(\lambda ,0,-\lambda )$

$\overrightarrow{PQ}=(\lambda ,0,-\lambda )-(1,0,1)=(\lambda -1,0,-\lambda -1)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=(\lambda -1)\cdot 1+0+(-\lambda -1)(-1)=\lambda -1+\lambda +1=2\lambda$

$2\lambda =0\Rightarrow \lambda =0\Rightarrow Q(0,0,0)$

La distancia es la longitud de ese segmento:

$d(P,r)=d(P,Q)=\sqrt{(1-0{)}^2+0^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$

El punto donde se alcanza la distancia es el origen $Q(0,0,0)$, y esa distancia vale $\sqrt{2}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De todos los planos que contienen a $r$, ninguno puede estar más lejos de $P$ que la propia recta: la distancia al plano se mide en perpendicular y siempre es menor o igual. La igualdad se alcanza en un único caso, aquel en el que el segmento $\overline{PQ}$ es perpendicular al plano; entonces $Q$ es a la vez el pie sobre la recta y sobre el plano.

Así pues, el plano buscado pasa por $Q$ y tiene como normal el vector $\overrightarrow{QP}$.

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{QP}=(1,0,1)$

$\pi :x+z+D=0$

$Q(0,0,0)\in \pi \Rightarrow D=0$

Comprobamos que la recta está contenida en el plano y que la distancia es la pedida:

$(\lambda )+(-\lambda )=0\mathrm{\forall }\lambda \Rightarrow r\subset \pi$

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$

El plano pedido es $\pi :x+z=0$, que es precisamente uno de los dos planos con los que se define la recta en el enunciado.