Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el punto $A(2,1,1)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y+z=0\end{array}$.

a) Calcule un vector director de la recta $r$. [0,75 puntos]

b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y a la recta $r$. [0,75 puntos]

c) La ecuación de la recta $s$ contenida en $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{director}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,1,0),{\vec{n}}_2=(0,1,1)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\mid =(1-0)\vec{i}-(1-0)\vec{j}+(1-0)\vec{k}=(1,-1,1)$

Un vector director de $r$ es ${\vec{v}}_r=(1,-1,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Necesitamos un punto de la recta. Dando el valor $y=0$ en las dos ecuaciones resulta $x=2$ y $z=0$.

$P_r(2,0,0)$

El plano contiene la dirección de la recta y la del segmento que une su punto de paso con $A$, así que su normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{A{P}_r}=(2,0,0)-(2,1,1)=(0,-1,-1)$

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{A{P}_r}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& -1\end{array}\mid =(1+1)\vec{i}-(-1-0)\vec{j}+(-1-0)\vec{k}=(2,1,-1)$

$\pi :2x+y-z+D=0$

Imponemos que pase por $A(2,1,1)$:

$4+1-1+D=0\Rightarrow D=-4$

Comprobamos con el punto de la recta:

$P_r(2,0,0):2\cdot 2+0-0-4=0$

El plano pedido es $\pi :2x+y-z-4=0$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La recta buscada cumple dos condiciones: está dentro de $\pi$, luego su director es perpendicular al normal del plano, y es perpendicular a $r$, luego también lo es a ${\vec{v}}_r$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =(1-1)\vec{i}-(2+1)\vec{j}+(-2-1)\vec{k}=(0,-3,-3)$

Simplificamos dividiendo entre $-3$:

${\vec{v}}_s=(0,1,1)$

Comprobamos las dos condiciones:

${\vec{v}}_s\cdot {\vec{v}}_r=0-1+1=0,{\vec{v}}_s\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0+1-1=0$

Con el punto $A(2,1,1)$ escribimos la recta:

$s:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$