Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados los puntos $A(1,1,0)$ y $B(0,0,2)$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$. Halle:

a) Un punto $C\in r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en $B$. [1,25 puntos]

b) El plano $\pi$ que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a $r$. [1,25 puntos]

Que el ángulo recto esté en $B$ significa que los dos lados que concurren en ese vértice son perpendiculares, es decir, que su producto escalar se anula. Como $C$ recorre la recta, lo escribimos en función del parámetro y de ahí sale el valor buscado.



$C\in r\Rightarrow C(1,1+\lambda ,1+\lambda )$

$\overrightarrow{BA}=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)$

$\overrightarrow{BC}=(1,1+\lambda ,1+\lambda )-(0,0,2)=(1,1+\lambda ,\lambda -1)$

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=1\cdot 1+1\cdot (1+\lambda )+(-2)(\lambda -1)$

$=1+1+\lambda -2\lambda +2=4-\lambda$

$4-\lambda =0\Rightarrow \lambda =4$

$C(1,1+4,1+4)=C(1,5,5)$

Comprobamos la perpendicularidad con las coordenadas ya calculadas:

$\overrightarrow{BC}=(1,5,3),\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=1+5-6=0$

El punto pedido es $C(1,5,5)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El plano tiene dos direcciones conocidas: la del segmento que une los dos puntos por los que pasa y la de la recta a la que es paralelo. Su normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,2)-(1,1,0)=(-1,-1,2),{\vec{v}}_r=(0,1,1)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\mid$

$=(-1-2)\vec{i}-(-1-0)\vec{j}+(-1-0)\vec{k}=(-3,1,-1)$

Cambiamos de signo para trabajar más cómodos e imponemos que pase por $A(1,1,0)$:

$\vec{n}=(3,-1,1)\Rightarrow \pi :3x-y+z+D=0$

$3\cdot 1-1+0+D=0\Rightarrow D=-2$

Comprobamos que la recta no está contenida en el plano, sustituyendo su punto de paso $(1,1,1)$:

$3-1+1-2=1\mathrm{\ne }0$

El plano pedido es $\pi :3x-y+z-2=0$.