Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A=(1,0,1)$, $B=(1,6,1)$, $C=(-2,-1,5)$ y $E=(-1,1,1)$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto $D$ para que el polígono $ABCD$ sea un paralelogramo y el área de $ABCD$. [1,25 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $E$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un vector normal del plano es el producto vectorial de dos lados del triángulo que forman los tres puntos.

$\overrightarrow{AB}=(1,6,1)-(1,0,1)=(0,6,0),\overrightarrow{AC}=(-2,-1,5)-(1,0,1)=(-3,-1,4)$

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 6& 0\\ -3& -1& 4\end{array}\mid =(24-0)\vec{i}-(0-0)\vec{j}+(0+18)\vec{k}=(24,0,18)$

Simplificamos dividiendo entre 6 e imponemos que el plano pase por $A(1,0,1)$:

$\vec{n}=(4,0,3)\Rightarrow \pi :4x+3z+D=0$

$4\cdot 1+3\cdot 1+D=0\Rightarrow D=-7$

El plano pedido es $\pi :4x+3z-7=0$.



En un paralelogramo $ABCD$ los lados $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ son opuestos, de modo que los vectores que los recorren en el mismo sentido son iguales. Esa es la condición que determina $D$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow B-A=C-D\Rightarrow D=C-\overrightarrow{AB}$

$D=(-2,-1,5)-(0,6,0)=(-2,-7,5)$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes, así que tomamos los que salen de $A$.

$\overrightarrow{AD}=(-2,-7,5)-(1,0,1)=(-3,-7,4)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 6& 0\\ -3& -7& 4\end{array}\mid =(24-0)\vec{i}-(0-0)\vec{j}+(0+18)\vec{k}=(24,0,18)$

$\mathcal{A}=\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\mid =\sqrt{{24}^2+0^2+{18}^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$

El cuarto vértice es $D(-2,-7,5)$ y el área del paralelogramo es de 30 unidades de área.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{E}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta perpendicular a un plano tiene como director el normal de ese plano, ya calculado y simplificado en el apartado a).

$\vec{v}={\vec{n}}_{\pi }=(4,0,3)$

Con el punto $E(-1,1,1)$ escribimos las ecuaciones paramétricas:

$t:\{\begin{array}{l}x=-1+4\lambda \\ y=1\\ z=1+3\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

La ecuación continua no se puede escribir en la forma habitual porque la segunda componente del director es nula, de modo que se expresa así:

${\displaystyle \frac{x+1}{4}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}},y=1$