Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados los puntos $A=(1,0,0)$ y $B=(-1,4,-4)$.

a) Calcule el plano $\pi$ que hace que $A$ y $B$ sean simétricos. [1,5 puntos]

b) Calcule la distancia de $A$ a $\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule una ecuación continua de la recta que pasa por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos puntos son simétricos respecto de un plano cuando este es el plano mediador del segmento que los une: pasa por su punto medio y tiene al segmento como dirección normal.



El vector que une los dos puntos será el normal del plano:

$\overrightarrow{AB}=(-1,4,-4)-(1,0,0)=(-2,4,-4)$

Los vectores normales admiten simplificación, así que dividimos entre $-2$:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,2)$

Calculamos el punto medio del segmento, que ha de pertenecer al plano:

$M=({\displaystyle \frac{1-1}{2}},{\displaystyle \frac{0+4}{2}},{\displaystyle \frac{0-4}{2}})=(0,2,-2)$

$\pi :x-2y+2z+D=0$

$M(0,2,-2)\in \pi \Rightarrow 0-4-4+D=0\Rightarrow D=8$

El plano pedido es $\pi :x-2y+2z+8=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0+8\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{9}{\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

La distancia de $A$ al plano es de 3 unidades de longitud. Como $\pi$ es el plano mediador, esa es también la distancia de $B$ al plano y la mitad de la que separa a los dos puntos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El vector director de la recta es el que une los dos puntos, ya calculado y simplificado en el apartado a).

$\vec{v}=(1,-2,2)$

Con el punto $A(1,0,0)$ escribimos la ecuación continua:

${\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{-2}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$

Esa es la recta que pasa por $A$ y $B$; es además perpendicular al plano del apartado a), como corresponde a dos puntos simétricos respecto de él.