Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados dos planos $\pi \equiv x+y+z=3$, ${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y=3$ y el punto $A=(2,1,6)$.

a) Calcule un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. [0,75 puntos]

b) Calcule el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$. [1 punto]

c) Calcule el punto $A^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$. [0,75 puntos]

La recta intersección está contenida en los dos planos, así que su director es perpendicular a las dos normales: se obtiene con el producto vectorial.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1),{\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=(1,1,0)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =(0-1)\vec{i}-(0-1)\vec{j}+(1-1)\vec{k}=(-1,1,0)$



Para un punto de la recta basta resolver el sistema que forman las dos ecuaciones. Restándolas se obtiene $z$:

$(x+y+z)-(x+y)=3-3\Rightarrow z=0$

Queda $x+y=3$, con infinitas soluciones; tomamos la más sencilla:

$y=0\Rightarrow x=3\Rightarrow P_r(3,0,0)$

La recta $r$ pasa por $(3,0,0)$ y tiene director $(-1,1,0)$.



Que el segmento sea perpendicular al plano significa que $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$, de modo que se construye la recta que pasa por $A$ con la dirección del normal y se corta con el plano.

$s:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=6+t\end{array},t\in \mathbb{R}$



Sustituimos en la ecuación del plano:

$(2+t)+(1+t)+(6+t)=3$

$3t+9=3\Rightarrow t=-2$

$P(2-2,1-2,6-2)=P(0,-1,4)$

Comprobamos que pertenece al plano:

$0-1+4=3$

El punto pedido es $P(0,-1,4)$.



Basta razonar que el pie de la perpendicular calculado en el apartado anterior es el punto medio del segmento $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.

$P=({\displaystyle \frac{2+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{6+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})=(0,-1,4)$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}=0\Rightarrow A_x^{\mathrm{\prime }}=-2\\ {\displaystyle \frac{1+A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=-1\Rightarrow A_y^{\mathrm{\prime }}=-3\\ {\displaystyle \frac{6+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}=4\Rightarrow A_z^{\mathrm{\prime }}=2\end{array}$

El simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ es $A^{\mathrm{\prime }}(-2,-3,2)$.