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Examen de Matemáticas II de Asturias 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Asturias, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Sea a∈R y P=(1−1a11002−2).

a) Calcule el determinante y el rango de P para cada valor de a. [0,75 puntos]

b) Para a=1, ¿existe P−1? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Para a=1, calcule det⁡(M) sabiendo que PM=M2. [0,75 puntos]

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Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Dado a∈R, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

{x−y+az=−12x+y=1y+2z=1

a) Discuta el sistema según los valores de a. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para el caso a=−3 si es posible. [0,75 puntos]

c) Encuentre, en caso de que exista, un valor de a que verifique x=1. Calcule la solución en ese caso. [0,75 puntos]

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Ejercicio 3: Funciones

Sean A,B∈R y f(x)=x2+ABx−1. Se pide:

a) Calcule A y B para que la gráfica de la función pase por el punto (0,−3) y tenga un extremo relativo en x=−1. [0,75 puntos]

b) Para los valores de A=3 y B=1, estudie si la función tiene asíntotas y extremos relativos. [1,25 puntos]

c) Para los valores A=3 y B=1, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función. [0,5 puntos]

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Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Se considera la función f(x)=xe2x2. Se pide:

a) Calcule una primitiva de f(x) que pase por el punto (0,−1). Sugerencia: puede utilizar el cambio de variable t=2x2. [1,5 puntos]

b) Calcule el área encerrada por la gráfica de f y las rectas x=0 y x=1. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Sea s la recta de ecuación x−2=y−2−1=z, y r la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1) y B=(2,1,2).

a) Indique la posición relativa de r y s. [1 punto]

b) Calcule el plano paralelo a r y que contiene a s. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas r y s. [0,75 puntos]

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

Dados dos planos π≡x+y+z=3, π′≡x+y=3 y el punto A=(2,1,6).

a) Calcule un vector director y un punto de la recta r intersección de los planos π y π′. [0,75 puntos]

b) Calcule el punto P de π tal que el segmento AP es perpendicular al plano π. [1 punto]

c) Calcule el punto A′ simétrico de A respecto del plano π. [0,75 puntos]

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Ejercicio 7: Probabilidad

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60 % de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1,6 % de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el 0,9 % son defectuosas. Se toma una caja al azar:

a) Calcule la probabilidad de que la caja sea defectuosa. [1,25 puntos]

b) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A. [1,25 puntos]

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Ejercicio 8: Distribución normal

Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución N(5,2).

a) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que 7,5. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre 3 y 5. [0,75 puntos]

c) Se modifica el sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es 1,5 y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que 6 sea 0,52. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución N(0,1) son: F(x)=P(Z≤x), F(0)=0,5, F(1,25)=0,8944, F(0,05)=0,52, F(0,52)=0,6985, F(0,8944)=0,8133, F(1)=0,8413.

Ver la solución del ejercicio 8

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