Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2023

Sea $a\in \mathbb{R}$ y $P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right)$.

a) Calcule el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$. [0,75 puntos]

b) Para $a=1$, ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Para $a=1$, calcule $\det (M)$ sabiendo que $PM=M^2$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Desarrollamos el determinante por la tercera fila, que es la que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\mid =-2\mid \begin{array}{cc}1& a\\ 1& 0\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\mid$

$=-2(0-a)-2(1+1)=2a-4=2(a-2)$

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=2$

Si $a\mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\mathrm{rg}(P)=3$

Si $a=2$, el determinante vale cero, pero el menor de las dos primeras filas y columnas no:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(P)=2$



Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, y para $a=1$ el apartado anterior da:

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=2(1-2)=-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{existe }{P}^{-1}$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right),P^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& 1& 2\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$

$P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(P^t)={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 2& -2& 1\\ 2& -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2}\\ -1& 1& -\frac{1}{2}\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$P\cdot P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2}\\ -1& 1& -\frac{1}{2}\\ -1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



No hace falta conocer $M$: basta tomar determinantes en los dos miembros de la igualdad y usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$PM=M^2=M\cdot M\Rightarrow \mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }$

Llamamos $d=\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }$ y sustituimos el determinante de $P$ obtenido en el apartado a):

$-2d=d^2\Rightarrow d^2+2d=0\Rightarrow d(d+2)=0$

$\{\begin{array}{l}d=0\\ d=-2\end{array}$

Los dos valores son posibles. Si $\det (M)=0$, la matriz $M$ es singular; si $\det (M)=-2$, es regular y de la igualdad se deduce entonces $M=P$, multiplicando por $M^{-1}$ por la derecha.

El determinante de $M$ solo puede valer 0 o $-2$.