Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2022

Sea $a\in \mathbb{R}$ y $P=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& a\end{array}\right)$.

a) Calcule el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$. [1 punto]

b) Para $a=1$, ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Calcule, en caso de que exista, los valores de $a$ tales que $\det (P)=\det (P^{-1})$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Desarrollamos el determinante por la primera columna, que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& a\end{array}\mid =-1\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ -1& a\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 2\end{array}\mid$

$=-1(a+2)-1(-2-2)=-a-2+4=2-a$

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=2$

Si $a\mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula y el rango es máximo:

$\mathrm{rg}(P)=3$

Si $a=2$, el determinante vale cero, pero el menor de las dos primeras filas y columnas no:

$\mid \begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(P)=2$



Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, y para $a=1$ el apartado anterior da:

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=2-1=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{existe }{P}^{-1}$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& 1\end{array}\right),P^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 1& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$

$P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(P^t)={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -4\\ -2& 1& 2\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$P\cdot P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -4\\ -2& 1& 2\\ 1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



El determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante, propiedad que se deduce de tomar determinantes en $P\cdot P^{-1}=I$.

$\det (P)\cdot \det (P^{-1})=\det (I)=1\Rightarrow \det (P^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\det (P)}}$

La condición pedida se convierte entonces en una ecuación con una sola incógnita:

$\det (P)={\displaystyle \frac{1}{\det (P)}}\Rightarrow {[\det (P)]}^2=1\Rightarrow \det (P)=\pm 1$

Sustituimos el determinante calculado en el apartado a):

$2-a=1\Rightarrow a=1$

$2-a=-1\Rightarrow a=3$

Los dos valores son válidos, porque en ambos el determinante es distinto de cero y la inversa existe.

Los valores pedidos son $a=1$ y $a=3$.