Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2020

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 3\\ 1& m& 2\\ 1& m& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$.

a) Discuta el rango de $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz $X$ para que sea posible la ecuación $A\cdot X=B$? [0,5 puntos]

c) Calcule la matriz $X$ del apartado anterior para $m=0$. [1 punto]

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 vale 3 mientras su determinante no se anule, así que lo calculamos primero desarrollando por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}m& 1& 3\\ 1& m& 2\\ 1& m& 3\end{array}\mid =m\mid \begin{array}{cc}m& 2\\ m& 3\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\mid +3\mid \begin{array}{cc}1& m\\ 1& m\end{array}\mid$

$=m(3m-2m)-1(3-2)+3(m-m)=m^2-1$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }\pm 1$, el determinante no se anula:

$\mathrm{rg}(A)=3$

Si $m=1$ o $m=-1$, el determinante vale cero, pero en los dos casos queda un menor de orden 2 no nulo, el de las dos últimas filas y las columnas segunda y tercera:

$\mid \begin{array}{cc}m& 2\\ m& 3\end{array}\mid =3m-2m=m\mathrm{\ne }0\text{para }m=\pm 1$

$\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 salvo para $m=1$ y $m=-1$, donde vale 2.



Anotamos las dimensiones conocidas y llamamos $p\times q$ a las de la incógnita.

$A_{3\times 3}\cdot X_{p\times q}=B_{3\times 2}$

Para que el producto se pueda hacer, las columnas de $A$ han de coincidir con las filas de $X$:

$p=3\Rightarrow (A\cdot X{)}_{3\times q}$

Y para que el resultado sea $B$:

$q=2$

La matriz $X$ ha de ser de dimensión $3\times 2$.



Para $m=0$ el determinante vale $-1$, así que $A$ es regular y podemos despejar multiplicando por su inversa por la izquierda.

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 1& 0& 3\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0^2-1=-1\mathrm{\ne }0$

$A\cdot X=B\Rightarrow A^{-1}A\cdot X=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

Calculamos la inversa con la adjunta de la traspuesta.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 3& 2& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{ccc}0& -3& 2\\ -1& -3& 3\\ 0& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& -2\\ 1& 3& -3\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& -2\\ 1& 3& -3\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 8& -4\\ -2& 2\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 1& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 8& -4\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=B$