Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2024

Halle el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo:

$M=\left(\begin{array}{ccc}m-1& 3& 0\\ -1& m& 1\\ m& -1& -1\\ -2& m+1& 2\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

La matriz tiene cuatro filas y tres columnas, de modo que su rango es a lo sumo 3. Para decidir cuándo lo alcanza basta con encontrar un menor de orden 3 no nulo.

Tomamos el formado por las filas primera, segunda y cuarta:

$\mid \begin{array}{ccc}m-1& 3& 0\\ -1& m& 1\\ -2& m+1& 2\end{array}\mid$

Restamos a la tercera fila la segunda multiplicada por 2, operación que no altera el determinante:

$=\mid \begin{array}{ccc}m-1& 3& 0\\ -1& m& 1\\ 0& 1-m& 0\end{array}\mid$

y lo desarrollamos por la tercera columna, cuyo único elemento no nulo es el 1 de la segunda fila:

$=-1\cdot \mid \begin{array}{cc}m-1& 3\\ 0& 1-m\end{array}\mid =-(m-1)(1-m)=(m-1{)}^2$

$(m-1{)}^2=0\Rightarrow m=1$

Si $m\mathrm{\ne }1$, ese menor no es nulo y $\mathrm{ran}(M)=3$.

Si $m=1$, la matriz es

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ -2& 2& 2\end{array}\right)$

Ahora la tercera fila es la opuesta de la segunda y la cuarta es la segunda multiplicada por 2, de modo que solo hay dos filas linealmente independientes. Como

$\mid \begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0$

el rango es exactamente 2.

Por tanto, $\mathrm{ran}(M)=3$ para todo $m\mathrm{\ne }1$, y $\mathrm{ran}(M)=2$ para $m=1$.