Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2023

Calcule los valores de $t$ para los que el rango de la matriz $A\cdot B$ es máximo, siendo

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& t-1\\ 1& t& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}t+1& 1& t\\ 0& t& -2t+1\\ t+1& t+1& -t-1\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

El producto $A\cdot B$ es una matriz cuadrada de orden 3, así que su rango es máximo —igual a 3— exactamente cuando su determinante no se anula. Y por la propiedad del determinante de un producto,

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }$

de modo que basta estudiar por separado los dos factores.

Calculamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ desarrollando por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es el de la tercera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& t-1\\ 1& t& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& t-1\end{array}\mid =1\cdot (0+1)=1$

El determinante de $A$ vale 1 cualquiera que sea $t$: nunca se anula.

Para $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }$ restamos la primera fila a la tercera, con lo que se anula su primer elemento:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}t+1& 1& t\\ 0& t& -2t+1\\ 0& t& -2t-1\end{array}\mid =(t+1)\mid \begin{array}{cc}t& -2t+1\\ t& -2t-1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=(t+1)[t(-2t-1)-t(-2t+1)]=(t+1)(-2t^2-t+2t^2-t)=(t+1)(-2t)=-2t(t+1)$

Por tanto,

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=1\cdot [-2t(t+1)]=-2t(t+1)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -2t(t+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=0\\ t=-1\end{array}$

El rango de $A\cdot B$ es máximo, e igual a 3, para todos los valores de $t$ salvo $t=0$ y $t=-1$.