Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2022

Demuestre que se cumple $\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3\times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz:

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

La matriz $A$ es $3\times 2$ y $B$ es $2\times 3$, de modo que el producto $A\cdot B$ es una matriz cuadrada de orden 3 y tiene sentido hablar de su determinante.

El argumento es el del rango. El rango de un producto no puede superar al de ninguno de sus factores:

$\mathrm{ran}(A\cdot B)\le \min \{\mathrm{ran}(A),\mathrm{ran}(B)\}$

Y como $A$ tiene solo dos columnas, su rango es a lo sumo 2, cualquiera que sea la matriz. Por tanto

$\mathrm{ran}(A\cdot B)\le 2<3$

Una matriz cuadrada de orden 3 con rango menor que 3 tiene determinante nulo, luego $\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=0$ para toda $A$ de dimensión $3\times 2$.

Se llega a lo mismo mirando las columnas de $B$, que cumplen

$C_3=C_1+2C_2\text{porque}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

Al multiplicar por la izquierda, esa relación se hereda: la tercera columna de $A\cdot B$ es la primera más el doble de la segunda,

$A\cdot C_3=A\cdot C_1+2A\cdot C_2$

de modo que las tres columnas de $A\cdot B$ son linealmente dependientes y su determinante es cero.

Queda demostrado que $\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=0$ sea cual sea la matriz $A$ de dimensión $3\times 2$.