Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $\mathrm{\mid }{A}^3\mathrm{\mid }=8$, siendo $A$ la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{\ell }-1& \mathrm{\ell }+1& 3\\ t^2-t& t^2+2t& t\\ 1-\mathrm{\ell }& -1-\mathrm{\ell }& -2\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

El enunciado pide los valores del parámetro $t$, de modo que la letra que aparece en la primera y en la tercera fila es esa misma $t$: la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}t-1& t+1& 3\\ t^2-t& t^2+2t& t\\ 1-t& -1-t& -2\end{array}\right)$

Como el determinante de una potencia es la potencia del determinante,

$\mid A^3\mid =\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^3=8\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\sqrt[3]{8}=2$

Calculamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$. La tercera fila es casi la opuesta de la primera, así que le sumamos la primera:

$F_3\to F_3+F_1:(0,0,1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}t-1& t+1& 3\\ t^2-t& t^2+2t& t\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}t-1& t+1\\ t^2-t& t^2+2t\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(t-1)(t^2+2t)-(t+1)(t^2-t)=t(t-1)(t+2)-t(t+1)(t-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=t(t-1)[(t+2)-(t+1)]=t(t-1)=t^2-t$

Imponemos la condición:

$t^2-t=2\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=2\\ t=-1\end{array}$

Se comprueban los dos: para $t=2$, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4-2=2$, y para $t=-1$, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1+1=2$; en ambos casos $\mathrm{\mid }{A}^3\mathrm{\mid }=2^3=8$.

Los valores pedidos son $t=2$ y $t=-1$.