Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2023

Calcule el valor de $a$ para que la siguiente matriz no sea regular:

$A=\left(\begin{array}{cccc}-3& 2& -1& -1\\ -2& 0& 1& a+3\\ -3& 1& 2& 2\\ -2& 0& 2& 2\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

Una matriz cuadrada es regular cuando tiene inversa, y eso ocurre exactamente cuando su determinante no se anula. Buscamos, pues, el valor de $a$ que hace $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$.

Antes de desarrollar conviene simplificar con operaciones elementales, que no alteran el determinante. Restamos la tercera fila a la primera y la cuarta a la segunda:

$F_1\to F_1-F_3:(0,1,-3,-3)F_2\to F_2-F_4:(0,0,-1,a+1)$

y después restamos a la tercera fila la cuarta multiplicada por $\frac{3}{2}$:

$F_3\to F_3-\frac{3}{2}{F}_4:(0,1,-1,-1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cccc}0& 1& -3& -3\\ 0& 0& -1& a+1\\ 0& 1& -1& -1\\ -2& 0& 2& 2\end{array}\mid$

Desarrollamos por la primera columna, cuyo único elemento no nulo es el $-2$ de la cuarta fila, con signo $(-1{)}^{4+1}=-1$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(-2)\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -3\\ 0& -1& a+1\\ 1& -1& -1\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -3\\ 0& -1& a+1\\ 1& -1& -1\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera columna el determinante de orden 3:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -3\\ 0& -1& a+1\\ 1& -1& -1\end{array}\mid =1\mid \begin{array}{cc}-1& a+1\\ -1& -1\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}-3& -3\\ -1& a+1\end{array}\mid$

$=(1+a+1)+(-3a-3-3)=(a+2)-3(a+2)=-2(a+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\cdot [-2(a+2)]=-4(a+2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -4(a+2)=0\Rightarrow a=-2$

La matriz no es regular únicamente para $a=-2$; para cualquier otro valor de $a$ su determinante es distinto de cero y admite inversa.