Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2026

Dadas las siguientes matrices $A$ y $B$, calcule $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }$ en función del parámetro $t$. ¿Para qué valores de $t$ no existe $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }$?

$A=\left(\begin{array}{ccc}t+1& t^2& 2\\ t+1& t^2+t-2& 2-t\\ t+1& t^2& 4\end{array}\right)$ ; $B=\left(\begin{array}{ccc}t& 3t& t^2-1\\ 0& t& 2-t\\ t& 4t& t^2\end{array}\right)$

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y el de la inversa es el inverso del determinante, siempre que esta exista:

$\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{B}^{-1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}$

Calculamos los dos por separado.

En $A$ la primera columna es constante, $(t+1)$ en las tres filas, así que la sacamos como factor común y restamos después la primera fila a las otras dos:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(t+1)\mid \begin{array}{ccc}1& t^2& 2\\ 1& t^2+t-2& 2-t\\ 1& t^2& 4\end{array}\mid =(t+1)\mid \begin{array}{ccc}1& t^2& 2\\ 0& t-2& -t\\ 0& 0& 2\end{array}\mid$

El determinante que queda es triangular, luego es el producto de la diagonal:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(t+1)\cdot 1\cdot (t-2)\cdot 2=2(t+1)(t-2)$

En $B$ restamos la primera fila a la tercera:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}t& 3t& t^2-1\\ 0& t& 2-t\\ t& 4t& t^2\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}t& 3t& t^2-1\\ 0& t& 2-t\\ 0& t& 1\end{array}\mid$

y desarrollamos por la primera columna:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=t\mid \begin{array}{cc}t& 2-t\\ t& 1\end{array}\mid =t[t-t(2-t)]=t(t^2-t)=t^2(t-1)$

Por tanto,

$\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2(t+1)(t-2)}{t^2(t-1)}}$

Este valor solo tiene sentido cuando $B$ es invertible, es decir, cuando $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=t^2(t-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=0\\ t=1\end{array}$

El determinante pedido vale $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2(t+1)(t-2)}{t^2(t-1)}}$, y no existe para $t=0$ ni para $t=1$, que son los valores en los que $B$ no tiene inversa.