Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2020

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}x+1& x+1& x-2\\ x& x& 2-x\\ x& x-1& x\end{array}\right)$, con $x\in \mathbb{R}$.

a) Calcule su determinante aplicando sus propiedades y estudie cuándo es invertible la matriz. [1,5 puntos]

b) Para $x=1$, calcule su inversa. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{aplicando}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{propiedades}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El enunciado pide usar las propiedades, así que en lugar de desarrollar directamente conviene hacer ceros restando filas y columnas, que no altera el valor del determinante.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}x+1& x+1& x-2\\ x& x& 2-x\\ x& x-1& x\end{array}\mid$

Restamos la segunda fila a la primera, con lo que aparecen dos unos:

$F_1\to F_1-F_2:\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2x-4\\ x& x& 2-x\\ x& x-1& x\end{array}\mid$

Restamos ahora la primera columna a la segunda, que la deja casi entera de ceros:

$C_2\to C_2-C_1:\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 2x-4\\ x& 0& 2-x\\ x& -1& x\end{array}\mid$

Desarrollamos por la segunda columna, en la que solo queda un elemento no nulo:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(-1)\mid \begin{array}{cc}1& 2x-4\\ x& 2-x\end{array}\mid =(2-x)-x(2x-4)$

$=(2-x)+2x(2-x)=(2-x)(1+2x)$

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}2-x=0\Rightarrow x=2\\ 1+2x=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

La matriz $A$ es invertible para todo $x$ salvo $x=2$ y $x=-\frac{1}{2}$.



Sustituimos y comprobamos con la fórmula del apartado anterior que la inversa existe.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(2-1)(1+2)=3\mathrm{\ne }0$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -3\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -1\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -3\\ -1& 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$