Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2021

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$, y $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

a) Escriba el sistema de ecuaciones $AX=X$ en la forma $BX=0$. [0,5 puntos]

b) Estudie para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones. [1 punto]

c) Para $a=0$ calcule, si existe, la inversa de $A$. [1 punto]

Como $X=I\cdot X$, se puede pasar todo a un miembro y sacar factor común $X$ por la derecha.

$AX=X\Rightarrow AX-IX=0\Rightarrow (A-I)X=0\Rightarrow B=A-I$

$B=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a-1& 0& -1\\ -1& -1& 0\\ 0& 1& a-1\end{array}\right)$

El sistema pedido es $BX=0$, es decir:

$\{\begin{array}{l}(a-1)x-z=0\\ -x-y=0\\ y+(a-1)z=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es un sistema homogéneo, de modo que siempre es compatible: la solución trivial $(0,0,0)$ lo cumple. Tiene además infinitas soluciones exactamente cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, es decir, cuando su determinante se anula.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a-1& 0& -1\\ -1& -1& 0\\ 0& 1& a-1\end{array}\mid$

Lo desarrollamos por la primera fila:

$=(a-1)\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& a-1\end{array}\mid -\mid \begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& 1\end{array}\mid$

$=(a-1)(-(a-1))-(-1)=-(a-1{)}^2+1$

$=-a^2+2a-1+1=-a^2+2a=-a(a-2)$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a(a-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=2\end{array}$

En los dos casos queda un menor de orden 2 no nulo, de modo que el rango es exactamente 2:

$a=0:\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& -1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0;a=2:\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(B)=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema tiene infinitas soluciones para $a=0$ y para $a=2$; para cualquier otro valor solo admite la solución trivial.



Ojo con no confundir las dos matrices: aquí se pide la inversa de $A$, no la de $B$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =-1\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\mid =-1\cdot (-1)=1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}(A^t)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$