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Examen de Matemáticas II de Asturias 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Asturias, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Sea a∈R y P=(−1−12012−1−1a).

a) Calcule el determinante y el rango de P para cada valor de a. [1 punto]

b) Para a=1, ¿existe P−1? En caso afirmativo calcúlela. [1 punto]

c) Calcule, en caso de que exista, los valores de a tales que det⁡(P)=det⁡(P−1). [0,5 puntos]

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Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Dado a∈R, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

{−x+2y=−1−x+2y+2z=1ax−2y+z=2

a) Discuta el sistema según los valores de a. [1 punto]

b) Estudie si es posible encontrar un valor de a para el cual la solución del sistema verifique que x=0. [0,75 puntos]

c) Si a=0, resuelva el sistema si es posible. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Funciones

Se considera la función f(x)=x2+3x−1.

a) Calcule el dominio de f y las asíntotas, en caso de que tenga. [1 punto]

b) Estudie la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad. [1 punto]

c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de f. [0,5 puntos]

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Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Se considera la función f(x)=x1−x2.

a) Calcule una primitiva de f(x) que pase por el punto (−1,0). Sugerencia: puede utilizar el cambio de variable t=1−x2. [1,75 puntos]

b) Calcule ∫01f(x) dx. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Sea r la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1) y B=(2,1,2), y s la recta s≡x−21=y−2−1=z1.

a) Indique la posición relativa de r y s. [0,75 puntos]

b) Calcule un plano paralelo a r y que contiene a s. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas r y s. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Dados dos planos π≡x+y+z=3, π′≡x+y=3 y el punto A=(2,1,6).

a) Calcule un vector director y un punto de la recta r intersección de los planos π y π′. [0,75 puntos]

b) Calcule el punto P de π tal que el segmento AP es perpendicular al plano π. [1 punto]

c) Calcule el punto A′ simétrico de A respecto del plano π. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B, tres cartas de copas y dos de bastos, y en el sobre C, cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.

a) Calcule la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos. [1,25 puntos]

b) Se extrae una carta y resulta ser copas, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B? [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución normal

El peso en kilos de la población de un cierto país sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 10. Se selecciona un individuo al azar.

a) Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos. [1,25 puntos]

b) Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es 0,6. ¿Cuál es la nueva media? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución N(0,1) son: F(x)=P(Z≤x), F(0)=0,5, F(0,15)=0,6, F(0,5)=0,6915, F(0,6)=0,7257, F(1,8)=0,9641.

Ver la solución del ejercicio 8

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