Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Se considera la función $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$ que pase por el punto $(-1,0)$. Sugerencia: puede utilizar el cambio de variable $t=1-x^2$. [1,75 puntos]

b) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. [0,75 puntos]

Antes de integrar conviene fijarse en el dominio: el radicando ha de ser mayor o igual que cero.

$1-x^2\ge 0\Rightarrow \mathrm{Dom}f=[-1,1]$

Seguimos la sugerencia del enunciado y hacemos el cambio de variable indicado.

$\{\begin{array}{l}t=1-x^2\\ dt=-2xdx\Rightarrow xdx=-{\displaystyle \frac{dt}{2}}\end{array}$

$\int x\sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{t}(-{\displaystyle \frac{dt}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int t^{1\mathrm{/}2}dt$

$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{t^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}+C=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^{3\mathrm{/}2}+C=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(1-x^2)}^{3\mathrm{/}2}+C$

Imponemos ahora que la primitiva pase por el punto dado, que es un extremo del dominio:

$F(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(1-1)}^{3\mathrm{/}2}+C=0+C=0\Rightarrow C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=-\frac{1}{3}{(1-x^2)}^{3\mathrm{/}2}=-\frac{1}{3}\sqrt{{(1-x^2)}^3}$.



Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva obtenida en el apartado anterior; el intervalo $[0,1]$ está dentro del dominio.

${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(1-x^2)}^{3\mathrm{/}2}]}_0^1$

$=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-1{)}^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-0{)}^{3\mathrm{/}2}=0+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$



La integral vale $\frac{1}{3}$. Como la función es positiva en todo el intervalo, ese número es además el área del recinto que la curva encierra con el eje de abscisas entre $x=0$ y $x=1$.