Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f(x)=4-x^2$.

a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado $D$. Calcule su área. [1 punto]

b) La gráfica de la función $g(x)=3x^2$ divide $D$ en tres partes $D_1$, $D_2$ y $D_3$. Haga un dibujo de los tres recintos. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto $D_2$ que contiene al punto $P(0,1)$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El recinto queda entre la curva y el eje de abscisas, así que primero localizamos los cortes, que son sus extremos.

$4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2$

La parábola tiene las ramas hacia abajo, de modo que es positiva entre las dos raíces y la integral da directamente el área.

$\mathcal{A}(D)={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^2$

$=(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})=16-{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto $D$ es de $\frac{32}{3}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.



Buscamos por dónde entra y sale la nueva parábola en el recinto, igualando las dos funciones.

$4-x^2=3x^2\Rightarrow 4=4x^2\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$g(\pm 1)=3\Rightarrow (-1,3)\text{ y }(1,3)$

La curva $g$ toca además el eje de abscisas en el origen, que también es frontera de $D$. Al entrar por $(-1,3)$, bajar hasta $(0,0)$ y volver a subir hasta $(1,3)$, parte el recinto en tres trozos: uno a cada lado y el central, que queda por encima de $g$ y por debajo de $f$.





Comprobamos primero cuál de los tres recintos contiene al punto. En $x=0$ la parábola $g$ vale 0, y como $1>0$, el punto $P$ está por encima de $g$: es el recinto central.

$\mathcal{A}(D_2)={\int }_{-1}^1[(4-x^2)-3x^2]dx={\int }_{-1}^1(4-4x^2)dx$

$={[4x-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}]}_{-1}^1=(4-{\displaystyle \frac{4}{3}})-(-4+{\displaystyle \frac{4}{3}})$

$=8-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$

El área del recinto $D_2$ es de $\frac{16}{3}\approx \mathrm{5,33}$ unidades de área, justamente la mitad del área total de $D$.