Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Siendo $p(t)=\mathrm{0,15}+{\sin }^2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot t)\cdot \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot t)$ el precio del kilowatio/hora de la luz doméstica entre los instantes $t_0=0$ y $t_1=1$:

a) Calcule los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo. [1,25 puntos]

b) Calcule el precio medio $\bar{p}$ de la luz entre los instantes $t_0=0$ y $t_1=1$, sabiendo que el valor medio de una función continua $f$ en el intervalo $[a,b](a<b)$ es:

$\bar{f}={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$. [1,25 puntos]

Observación: Recuerde la necesidad de trabajar en radianes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{instantes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}$

Derivamos $p(t)$ aplicando la regla del producto, y trabajando en radianes:

$p^{\mathrm{\prime }}(t)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)\cdot \frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)\cdot (-\frac{\pi }{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right))$

$p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)[2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)]$

Usando ${\sin }^2=1-{\cos }^2$ el corchete queda $3{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)-1$:

$p^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)[3{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)-1]$

Igualamos a cero en $[0,1]$. En ese intervalo $\frac{\pi }{2}t\in [0,\frac{\pi }{2}]$, de modo que el seno solo se anula en $t=0$:

$\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)=0\Rightarrow t=0$

$3{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)-1=0\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\arccos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\approx \mathrm{0,608}$

El factor $\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)$ es positivo en $(0,1]$, así que el signo de $p^{\mathrm{\prime }}(t)$ lo marca el corchete: es positivo antes de $\mathrm{0,608}$ y negativo después, luego ahí hay un máximo.

$p(\mathrm{0,608})=\mathrm{0,15}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=\mathrm{0,15}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx \mathrm{0,5349}$

Como el intervalo es cerrado, comparamos con los extremos:

$p(0)=\mathrm{0,15}+0\cdot 1=\mathrm{0,15}p(1)=\mathrm{0,15}+1\cdot 0=\mathrm{0,15}$



El precio ha sido máximo en el instante $t={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\arccos {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\approx \mathrm{0,608}$, con un valor de $\mathrm{0,5349}$, y ha sido mínimo en los dos extremos del intervalo, $t=0$ y $t=1$, con un valor de $\mathrm{0,15}$.



Aplicamos la fórmula del enunciado con $a=0$ y $b=1$:

$\bar{p}={\displaystyle \frac{1}{1-0}}{\displaystyle {\int }_0^1[\mathrm{0,15}+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)]dt}$

El primer sumando es inmediato y el segundo se resuelve con el cambio de variable

$\{\begin{array}{l}w=\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)\\ dw=\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)dt\end{array}t=0\Rightarrow w=0,t=1\Rightarrow w=1$

${\displaystyle {\int }_0^1{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}t\right)\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)dt={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\int }_0^1{w}^{2}dw={\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\left[{\displaystyle \frac{w^3}{3}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3\pi }}}$

$\bar{p}=\mathrm{0,15}+{\displaystyle \frac{2}{3\pi }}\approx \mathrm{0,15}+\mathrm{0,2122}=\mathrm{0,3622}$

El precio medio del kilowatio/hora entre los dos instantes es de $\mathrm{0,3622}$.