Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sean las parábolas $y_1=x^2-2x+3$ e $y_2=a{x}^2+b$.

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que en el punto de abscisa $x=2$ las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcule dicha recta tangente. [1 punto]

b) Para $a=1$, $b=1$, esboce el recinto limitado por las parábolas entre el eje Y y el punto de corte entre ellas. Calcule el área del mismo. [1,5 puntos]

Que dos curvas compartan la recta tangente en una abscisa significa dos cosas: que pasan por el mismo punto y que tienen la misma pendiente allí. Esas son las dos ecuaciones del problema.

$y_1(2)=y_2(2),y_1^{\mathrm{\prime }}(2)=y_2^{\mathrm{\prime }}(2)$

Empezamos por las derivadas, que dan directamente el valor de $a$.

$y_1^{\mathrm{\prime }}=2x-2\Rightarrow y_1^{\mathrm{\prime }}(2)=2$

$y_2^{\mathrm{\prime }}=2ax\Rightarrow y_2^{\mathrm{\prime }}(2)=4a$

$4a=2\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Imponemos ahora que las ordenadas coincidan:

$y_1(2)=4-4+3=3$

$y_2(2)=4a+b=2+b$

$2+b=3\Rightarrow b=1$

La recta tangente pasa por $(2,3)$ con pendiente 2:

$y-3=2(x-2)\Rightarrow y=2x-1$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$ y $b=1$, y la recta tangente común es $y=2x-1$.



Las dos parábolas son ahora:

$y_1=x^2-2x+3,y_2=x^2+1$

Buscamos su punto de corte igualándolas. Al tener el mismo coeficiente principal, los términos de segundo grado se cancelan y queda una ecuación de primer grado: se cortan en un único punto.

$x^2-2x+3=x^2+1\Rightarrow -2x+2=0\Rightarrow x=1$

$y=1^2+1=2\Rightarrow (1,2)$

Para saber cuál va por encima entre el eje $Y$ y ese punto basta evaluarlas en $x=0$:

$y_1(0)=3>y_2(0)=1$



El área se obtiene integrando la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre $x=0$ y $x=1$.

$\mathcal{A}={\int }_0^1[(x^2-2x+3)-(x^2+1)]dx={\int }_0^1(-2x+2)dx$

$={[-x^2+2x]}_0^1=(-1+2)-0=1$

El área del recinto es de 1 unidad de área.