Examen de Matemáticas II de Asturias 2024 (convocatoria ordinaria)

En una protectora de animales se dan tres tipos de alimentos a tres razas de perros distintas. Cada perro de la raza 1 consume, por semana, un promedio de 2 unidades del alimento A y 1 unidad del alimento C. Cada perro de la raza 2 consume, por semana, un promedio de 1 unidad del alimento A y 1 unidad del alimento C. El consumo semanal promedio de la raza 3 es de 3 unidades de alimento A, 1 unidad de alimento B y 3 unidades de alimento C. Cada semana se compran 410 unidades del alimento A, 30 unidades del alimento B y 310 del alimento C. Se supone que toda la comida que se proporciona se consume.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice este problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) ¿Cuántos ejemplares de cada raza pueden coexistir en la protectora? [1 punto]

c) Si la raza 2 consumiese 1 unidad del alimento B, ¿existiría otra distribución del número de ejemplares de cada raza que permitiese mantener las unidades compradas cada semana? [0,75 puntos]

Sea $x\in \mathbb{R}$ y la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -2\\ -2& -3& 0\\ 1& 2& x\end{array}\right)$.

a) Dé el $\mathrm{rg}(A)$ según los valores de $x$. Para $x=1$, compruebe que existe $A^{-1}$ y calcúlela. [1,5 puntos]

b) Tome $x=1$. Supongamos que $B$ es una matriz $3\times 3$ con $\det (B)=5$. Calcule $\det (AB)$. Razone cuál debe ser el valor de $\det \left({\displaystyle \frac{1}{5}}AB\right)$. [1 punto]

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-4}{1-x}}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

Dada la función $f(x)=\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$.

a) Calcule una primitiva que pase por el punto $(0,1)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x=0$ y $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. [1,25 puntos]

Dado el punto $A=(0,-1,1)$ y el plano $\pi :x+y+z+3=0$.

a) Calcule el punto $B$ simétrico de $A$ respecto de $\pi$. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo plano cuyos vértices son $A$, $C=(-2,-3,1)$ y el origen de coordenadas. [1 punto]

Se consideran los puntos $A=(1,1,1)$, $B=(1,0,2)$, $C=(-1,1,3)$ y $D=(-1,0,1)$.

a) Estudie si existe un plano que contenga a los cuatro puntos. [0,75 puntos]

b) Calcule la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule el punto $P$ intersección de la recta $r\equiv x+1=-y=z-1$ y el plano $\pi \equiv x-y-z=1$ obtenidos en los apartados anteriores. [1 punto]

En una empresa el 55 % de los trabajadores han hecho el curso «ChatGPT». El 30 % de los trabajadores que han hecho este curso también han hecho el curso «IA», y el 40 % de los que no han hecho el curso «ChatGPT» han realizado el curso «IA».

a) Tomado un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado el curso «IA»? [1,25 puntos]

b) Si un trabajador elegido al azar no ha hecho el curso «IA», ¿cuál es la probabilidad de que sí tenga el curso de «ChatGPT»? [1,25 puntos]

Una empresa cafetera realiza una encuesta a 10000 individuos sobre el tipo de café que compran. Los resultados son: 8000 dicen comprar café torrefacto, 4000 café natural y 3000 ambos tipos de café.

a) Si se elige un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre alguno de los dos tipos de café? [0,5 puntos]

b) Se selecciona un individuo y se le pregunta si compra café natural. Se repite la operación 100 veces, pudiendo repetirse el individuo seleccionado. Calcule, aproximando por una distribución normal si fuese posible, la probabilidad de que no más de 50 individuos compren café natural. [1 punto]

c) Si en el apartado anterior sólo se seleccionasen 10 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 compren café natural? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0,1)$ son: $F(x)=P(Z\le x)$, $F(0)=\mathrm{0,5}$, $F(\mathrm{0,15})=\mathrm{0,5596}$, $F(\mathrm{2,0412})=\mathrm{0,9793}$, $F(\mathrm{0,9793})=\mathrm{0,8340}$, $F(\mathrm{0,5596})=\mathrm{0,7112}$, $F(\mathrm{0,6294})=\mathrm{0,7356}$, $F(\mathrm{0,8159})=\mathrm{0,7939}$, $F(\mathrm{0,9})=\mathrm{0,8159}$, $F(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,9}$.